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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 07.02.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] \vec{x}'=\pmat{ 1 & 2 &1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2} [/mm] |
Hallo,
ich rechne grad ein paar altklausuren durch und hab mal eine Frage zu der Aufgabe...
Hab folgendes aufgeschrieben:
Dies ist ein lineares, homogenes System 1. Ordnung von 3 DGL.
Zuerst die EW's bestimmen:
det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 &1 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda}
[/mm]
Entwicklung nach der 1. Spalte:
[mm] =(1-\lambda)*det \pmat{3-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda}+1*det \pmat{2 & 1 \\ 3-\lambda & 1}
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)-1]+1*[2-3+\lambda]
[/mm]
[mm] =(1-\lambda)[\lambda^2-5*\lambda+5](-1+\lambda)
[/mm]
Es würde ja jetzt nur unnötig arbeit machen alles auszumultipliezieren und dann polynomdivision zu machen oder? Meistens Kann man ja die erste Nullstelle schon an der ersten klammer ablesen oder? Und die anderen nullstellen finden man dann mit der pq-formel oder?
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Di 07.02.2012 | | Autor: | David90 |
hab ein + vergessen :x
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Hallo David90,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> [mm]\vec{x}'=\pmat{ 1 & 2 &1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2}[/mm]
>
> Hallo,
> ich rechne grad ein paar altklausuren durch und hab mal
> eine Frage zu der Aufgabe...
> Hab folgendes aufgeschrieben:
> Dies ist ein lineares, homogenes System 1. Ordnung von 3
> DGL.
> Zuerst die EW's bestimmen:
> det [mm]\pmat{ 1-\lambda & 2 &1 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda}[/mm]
>
> Entwicklung nach der 1. Spalte:
> [mm]=(1-\lambda)*det \pmat{3-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda}+1*det \pmat{2 & 1 \\ 3-\lambda & 1}[/mm]
>
> [mm]=(1-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)-1]+1*[2-3+\lambda][/mm]
> [mm]=(1-\lambda)[\lambda^2-5*\lambda+5](-1+\lambda)[/mm]
> Es würde ja jetzt nur unnötig arbeit machen alles
> auszumultipliezieren und dann polynomdivision zu machen
> oder? Meistens Kann man ja die erste Nullstelle schon an
> der ersten klammer ablesen oder? Und die anderen
Du kannst hier versuchen, das Polynom jetzt zu faktorisieren.
> nullstellen finden man dann mit der pq-formel oder?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Di 07.02.2012 | | Autor: | David90 |
ok und wenn man die eigenwerte [mm] \lambda_{1/2}=1 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=4 [/mm] raus hat dann muss man die Eigenvektoren bestimmen.
Für [mm] \lambda_{3}=4 [/mm] :
[mm] \pmat{ -3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 }*\vec{v}=\vec{0}
[/mm]
Gibt es jetzt einen schnelleren Weg den Ev zu bestimmen. Normalerweise würd ich jetzt das Gleichungssystem aufstellen und lösen, aber in der klausur ist zeit was wertvolles ;) also gibts da noch nen schnelleren weg?
Gruß David
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Hallo Davdi90,
> ok und wenn man die eigenwerte [mm]\lambda_{1/2}=1[/mm] und
> [mm]\lambda_{3}=4[/mm] raus hat dann muss man die Eigenvektoren
> bestimmen.
> Für [mm]\lambda_{3}=4[/mm] :
> [mm]\pmat{ -3 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 }*\vec{v}=\vec{0}[/mm]
>
> Gibt es jetzt einen schnelleren Weg den Ev zu bestimmen.
> Normalerweise würd ich jetzt das Gleichungssystem
> aufstellen und lösen, aber in der klausur ist zeit was
> wertvolles ;) also gibts da noch nen schnelleren weg?
Beginne mit der 2. Zeile.
Untersuche dann mit Hilfe der Folgerung
aus der 2. Zeile, die Zeile 1 bzw 3.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Di 07.02.2012 | | Autor: | David90 |
aus der 2. zeile folgt: [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] aber wenn man das jetzt in die 1. und 3. zeile einsetzt dann hebt sich immer alles auf wenn man dann in der 1. und 3. zeile eine variable rauskürzen will :O
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 07.02.2012 | | Autor: | David90 |
ich mein natürlich [mm] v_2=v_3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 07.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wiso willst du rauskürzen? da steht doch dann einfach v1=v2=v3
durch schräges angucken der matrix sieht man dass (1,1,1) ne lösung ist und dann alle Vielfache davon.
Gruss leduart
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