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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL lösen
DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Do 20.04.2017
Autor: calabi

Hallo zusammen,

könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg der DGL

[mm] \bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const. [/mm] (mit Produktregel: [mm] \bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.) [/mm]

mit der Lösung [mm] v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2 [/mm] darstellen?

Wie kommt man auf die Lösung?

Grüße
calabi

        
Bezug
DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 Do 20.04.2017
Autor: Chris84


> Hallo zusammen,

Huhu,

>  
> könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg
> der DGL
>
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const.[/mm] (mit
> Produktregel:
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.)[/mm]
>  

Die Produktregel wuerde ich hier nicht anwenden. Macht alles  nur komplizierter als noetig.

> mit der Lösung [mm]v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2[/mm]
> darstellen?
>  
> Wie kommt man auf die Lösung?

Das bekommen wir bestimmt zusammen hin. So schwierig ist das gar nicht :)

Diese Gleichung kann man schrittweise loesen, indem man jeweils $r$ auf die rechte Seite, die am Anfang ja konstant ist, bringt und dann integriert.

Also erster Schritt: $r$ nach rechts und integrieren :)
Das bekommst du auch alleine hin!

>  
> Grüße
>  calabi

Gruss,
Chris


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Bezug
DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Fr 21.04.2017
Autor: calabi

Hi Chris,

ohne Produktregel erhalte ich folgendes:

[mm] \bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const. [/mm]
[mm] \bruch{r^2}{2}\bruch{dv_z}{dr}+c_1=r*const. [/mm]
[mm] \bruch{dv_z}{dr}=\bruch{2}{r}*const.-c_1 [/mm]
[mm] v_z=2*ln(r)+c_2-c_1 [/mm]

Kannst mir bitte sagen, wo ich den Fehler gemacht habe? Offensichtlich stimmt die Lösung nicht.

Grüße
calabi

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Bezug
DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:16 Fr 21.04.2017
Autor: Chris84


> Hi Chris,

Huhu,

>  
> ohne Produktregel erhalte ich folgendes:
>  
> [mm]\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const.[/mm]

Bis hierhin sieht das gut aus.

>  [mm]\bruch{r^2}{2}\bruch{dv_z}{dr}+c_1=r*const.[/mm]

Hmm, was hier jedoch passiert, entzieht sich meiner Kenntnis....

>  [mm]\bruch{dv_z}{dr}=\bruch{2}{r}*const.-c_1[/mm]
>  [mm]v_z=2*ln(r)+c_2-c_1[/mm]
>  
> Kannst mir bitte sagen, wo ich den Fehler gemacht habe?

Jap.

> Offensichtlich stimmt die Lösung nicht.
>  
> Grüße
>  calabi

Du hast also

[mm] $\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=r*const$ [/mm]

Nun kommt es darauf an, wie ausfuehrlich man das machen will oder aufschreiben muss, aber ich wuerde nun beide Seiten nach $r$ integrieren. Fuer die linke Seite: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Naja, und rechts hast du doch einfach [mm] $\int [/mm] r dr$.

Hilft das?

Gruss,
Chris

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DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Fr 21.04.2017
Autor: leduart

Edit Tipfehler berichtigt
Hallo
woher kommt denn das [mm] r^2/2? [/mm]
wenn du d/dr(1/rdv/dr) integrierst hast du einfach r*dv/dr denn [mm] \integral [/mm] d/dr(F(r)dr=F(r) egal was F ist. also hast du [mm] 1/r*dv/dr)=c*r+c_1 [/mm]
und damit dv/dr=...
Gruß ledum

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DGL lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:50 Sa 22.04.2017
Autor: Chris84


> Hallo

Huhu,

>   woher kommt denn das [mm]r^2/2?[/mm]
>  wenn du d/dr(dv/dr) integrierst hast du einfach r*dv/dr

Du meinst bestimmt, dass man dann dv/dr bekommt :)

> denn [mm]\integral[/mm] d/dr(F(r)dr=F(r) egal was F ist. also hast
> du [mm]1/r*dv/dr)=c*r+c_1[/mm]

Auch die Loesung [mm] $\frac{1}{r} \frac{dv}{dr}=c\cdot r+c_1$ [/mm] erschliesst sich mir leider nicht....

>   und damit dv/dr=...
>  Gruß ledum  

Gruss,
Chris

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Bezug
DGL lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Sa 22.04.2017
Autor: leduart

Hallo,
ich hab das vergessene 1/r in meinem post ergänzt. Danke für die Mitteilung.
ich hoffe, damit ist alles klar.
Gruß leduart

Bezug
                                                
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DGL lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 Sa 22.04.2017
Autor: calabi

Alles verstanden. Vielen Dank Chris84 & leduart.

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DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Sa 22.04.2017
Autor: Martinius

Hallo calabi,

mit Deinem Ansatz kommt man auch zur Lösung.


> Hallo zusammen,
>  
> könnt ihr mir bitte weiterhelfen und mir den Lösungsweg
> der DGL
>
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{d}{dr}(r\bruch{dv_z}{dr})=const.[/mm] (mit
> Produktregel:
> [mm]\bruch{1}{r}\bruch{dv_z}{dr}+\bruch{d^2v_z}{dr^2}=const.)[/mm]
>  
> mit der Lösung [mm]v_z(r)=\bruch{const.}{4}r^2+c_1lnr+c_2[/mm]
> darstellen?
>  
> Wie kommt man auf die Lösung?
>  
> Grüße
>  calabi


[mm]r*\bruch{d^2v}{dr^2}+\bruch{dv}{dr}=C*r[/mm]

Substitution:  v' = a     v'' = a'

(1)  [mm] $r*a'+a\;=\;C*r$ [/mm]

Zunächst die homogene Gleichung lösen:  [mm] $r*a'+a\;=\;0$ [/mm]

[mm] $a'\;=\;-\frac{a}{r}$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{a}\;da\;=\;-\int \frac{1}{r}\;dr$ [/mm]

[mm] $ln|a|\;=\;-ln|r|+ln(D)$ [/mm]

(2)  [mm] $a\;=\;\frac{D}{r}$ [/mm]   Nun Variation der Konstanten: [mm] $a\;=\;\frac{D_{(r)}}{r}$ [/mm]

[mm] $a'\;=\;\frac{r*D'-D}{r^2}$ [/mm]  Einsetzen in (1):

[mm] $\frac{r*D'-D}{r}+\frac{D}{r}\;=\;C*r$ [/mm]

[mm] $D'\;=\;C*r$ [/mm]

[mm] $\int dD\;=\;\int C*r\;dr$ [/mm]

[mm] $D\;=\;C*\frac{r^2}{2}+E$ [/mm]   Einsetzen in (2):

[mm] $a\;=\;\frac{C*r^2/2+E}{r}$ [/mm]   Resubstitution:

[mm] $v'\;=\;\frac{C}{2}*r+\frac{E}{r}$ [/mm]

[mm] $\int dv\;=\;\int \left(\frac{C}{2}*r+\frac{E}{r} \right)\;dr$ [/mm]

[mm] $v\;=\; \frac{C}{4}*r^2+E*ln|r|+F$ [/mm]


Hoffentlich ohne allzuviele Fehler.

LG, Martinius

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Bezug
DGL lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 Sa 22.04.2017
Autor: calabi

Danke Martinius!

Wahrscheinlich wäre ein Potenzreihenansatz eine weiter Möglichkeit die DGL zu lösen.

Bezug
                        
Bezug
DGL lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:06 Sa 22.04.2017
Autor: Martinius

Hallo calabi,

> Danke Martinius!
>  
> Wahrscheinlich wäre ein Potenzreihenansatz eine weiter
> Möglichkeit die DGL zu lösen.

Oder evtl. auch mittels Laplace-Transformation ?


LG, Martinius

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