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Forum "Ordinary Differential Equations" - Erstes Integral
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Erstes Integral: Frage (reagiert)
Status: (Question) Waiting for user Status 
Date: 20:23 Di 24/04/2018
Author: Son

Aufgabe
[mm] u'(t)=2*v(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2), [/mm] t>0
[mm] v'(t)=-u(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2) [/mm] t>0
[mm] u(0)=u_0; v(0)=v_0 [/mm]

Zu zeigen: a) [mm] H(x,y)=(x^2/2)+y^2 [/mm] ist ein erstes Integral des Systems.
b) Bestimme alle stationären Lösungen

Meine Ansätze:
--> f(x,y)= [mm] \pmat{ 2*v(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) \\ -u(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) } [/mm]
a) [mm] H'(x,y)=\bruch{ \partial H}{\partial x} *f_1(x,y) [/mm] + [mm] \bruch{ \partial H}{\partial y} *f_2(x,y) [/mm]
= [mm] x*(2*v(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)) [/mm] + [mm] 2*y*(-u(t)*(1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)) [/mm]
= [mm] (1-u(t)^2 [/mm] - [mm] v(t)^2)*(2*x*v(t)-2*y*u(t)) [/mm] =
Man müsste zeigen, dass dies null ergibt, aber ich komme hier nicht weiter...

b) Hier habe ich f(x,y)=0 gesetzt und hab folgendes GLS:
I   [mm] 2v*(1-u^2-v^2)=0 [/mm]
II  [mm] -u(1-u^2-v^2)=0 [/mm]
--> ich habe v=0 gesetzt und habe u ermittelt. und u=0 gesetzt und habe v ermittelt.
Ist hier die vorgehensweise richtig?

        
Bezug
Erstes Integral: Bezeichnungen erläutern !
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:54 Di 24/04/2018
Author: Al-Chwarizmi

Guten Abend,

ich fände es nett, wenn bei einer solchen Aufgabe die
Rollen der verschiedenen Variablen (t,u,v,x,y) und ihre
gegenseitigen Abhängigkeiten wenigstens kurz erläutert
würden oder ein Link zu einer Seite angegeben würde,
wo man sich über diesbezügliche "Standardbezeichnungen"
orientieren könnte.

LG ,  Al-Chw.

Bezug
        
Bezug
Erstes Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 05:33 Mi 25/04/2018
Author: fred97


> [mm]u'(t)=2*v(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2),[/mm] t>0
>  [mm]v'(t)=-u(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2)[/mm] t>0
>  [mm]u(0)=u_0; v(0)=v_0[/mm]
>  
> Zu zeigen: a) [mm]H(x,y)=(x^2/2)+y^2[/mm] ist ein erstes Integral
> des Systems.
>  b) Bestimme alle stationären Lösungen
>  Meine Ansätze:
>  --> f(x,y)= [mm]\pmat{ 2*v(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) \\ -u(t)*(1-u(t)^2 - v(t)^2) }[/mm]


Meine Güte !  Kein Wunder, dass Du nicht klar kommst. Deine selbstgewählte Bezeichnungsweise ist, mit Verlaub, total bekloppt ! Damit kann man nur scheitern.


Räumen wir auf:

wir setzen [mm]f(x,y):=\pmat{ 2y(1-x^2-y^2) \\ -x(1-x^2-y^2)}[/mm]

Für differenzierbare Funktionen  $w=(u,v): [0, [mm] \infty) \to \IR^2$ [/mm] wird das Anfangswertproblem

   $w'(t)=f(w(t))$,  [mm] $w(0)=(u_0,v_0)$ [/mm]

betrachtet.

>  
> a) [mm]H'(x,y)=\bruch{ \partial H}{\partial x} *f_1(x,y)[/mm] +
> [mm]\bruch{ \partial H}{\partial y} *f_2(x,y)[/mm]



Das ist doch Quatsch ! Rechts steht doch das Skalarprodukt von H'(x,y) und f(x,y), links aber nur H'(x,y).


> = [mm]x*(2*v(t)*(1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2))[/mm] + [mm]2*y*(-u(t)*(1-u(t)^2[/mm] -
> [mm]v(t)^2))[/mm]
>  = [mm](1-u(t)^2[/mm] - [mm]v(t)^2)*(2*x*v(t)-2*y*u(t))[/mm] =
> Man müsste zeigen, dass dies null ergibt, aber ich komme
> hier nicht weiter...

Hab ich es nicht gesagt ? Fällt Dir denn nicht auf, dass Du u,v,x,y durcheinander wirfst ??

Zu zeigen ist: $H'(x,y) [mm] \cdot [/mm] f(x,y)=0$ (wobei links das Skalarprodukt von H'(x,y) und f(x,y) gemeint ist).

Wählt man die Bezeichnungsweise richtig, so ist das eine Trivialität !..


>  
> b) Hier habe ich f(x,y)=0 gesetzt und hab folgendes GLS:
>  I   [mm]2v*(1-u^2-v^2)=0[/mm]
>  II  [mm]-u(1-u^2-v^2)=0[/mm]


Wieder ein Chaos mit x,y,u, und v, warum bringst Du nicht noch das komplette Alphabet ins Spiel, dann wäre mein geschätzter Kollege Al völlig verwirrt !


>  --> ich habe v=0 gesetzt und habe u ermittelt. und u=0

> gesetzt und habe v ermittelt.
>  Ist hier die vorgehensweise richtig?

Aus f(x,y)=0 bekommen wir zwei Fälle:

Fall 1: [mm] x^2+y^2=1. [/mm]  Ist also [mm] (x_0,y_0) [/mm] ein Punkt auf der Einheitskreislinie und [mm] $w(t):=(x_0,y_0)$, [/mm] so ist diese konstante Funktion zwar Lösung der DGL, erfüllt aber nicht die Anfangsbedingung $w(0)=(0,0)$.

Fall 2: [mm] x^2+y^2 \ne [/mm] 1. Dann ist x=y=0. Setzt man $w(t):=(0,0)$, so ist diese Funktion eine stationäre Lösung (und zwar die einzige) des Anfangswertproblems.




Bezug
                
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Erstes Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:52 Mi 25/04/2018
Author: Son

Stimmt ich hab einen kompletten Unsinn geschrieben:O

Ich hab nur noch kurz eine Frage zur a):
Alsso man muss H'(x,y)|f(x,y) rechnen (Skalarprodukt):
Und da hab ich dann das:
H°(x,y)=H'(x,y)|f(x,y) [mm] =x*2y*(1-x^2-y^2)-x(1-x^2-y^2) [/mm] = .. das kann aber nicht null werden.. Ich weiß dass ich einen Denkfehler habe aber weiß grad nicht welchen

Vielen Dank für die Hilfe:)

Bezug
                        
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Erstes Integral: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 19:30 Mi 25/04/2018
Author: fred97


> Stimmt ich hab einen kompletten Unsinn geschrieben:O
>  
> Ich hab nur noch kurz eine Frage zur a):
>  Alsso man muss H'(x,y)|f(x,y) rechnen (Skalarprodukt):
>  Und da hab ich dann das:
>   H°(x,y)=H'(x,y)|f(x,y) [mm]=x*2y*(1-x^2-y^2)-x(1-x^2-y^2)[/mm] =


IWas machst du denn?  Rechne nochmal,  aber richtig


> .. das kann aber nicht null werden.. Ich weiß dass ich
> einen Denkfehler habe aber weiß grad nicht welchen
>  
> Vielen Dank für die Hilfe:)


Bezug
                                
Bezug
Erstes Integral: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:18 Mi 25/04/2018
Author: Son

Danke hab es jetzt:)
Bezug
                
Bezug
Erstes Integral: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:54 Do 26/04/2018
Author: Al-Chwarizmi


> Wieder ein Chaos mit x,y,u, und v, warum bringst Du nicht
> noch das komplette Alphabet ins Spiel, dann wäre mein
> geschätzter Kollege Al völlig verwirrt !

Ja, ich wusste ja eben auch nicht, von welchem Planeten uns
diese Anfrage erreicht hat ...
Und im Prinzip hätte ich nicht viel dagegen einzuwenden, dass
die Buchstaben des Alphabets etwas gleichberechtigter eingesetzt
würden. So hätte ich eigentlich nichts gegen Unbekannte namens
k oder c und gegen Konstante mit den Bezeichnungen x oder y
einzuwenden ...   (sofern jeweils genügend dafür gesorgt wäre,
dass klar ist, welche Rolle ein bestimmtes Zeichen in seiner
konkreten Position haben soll).

LG ,  Al-Chw.

Bezug
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