Eulersche Summenformel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen,
ich arbeite gerade einen Beweises meines Skriptes durch der mich nahezu verzweifeln lässt und ich hoffe auf etwas Unterstützung. Es geht um den Satz:
Sei $f [mm] \in C^1 [/mm] [y,x]$ mit $y <x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt:
[mm]\summe_{y
Nun ist dieser Beweis sehr Integral lastig und irgendwie komme ich damit nicht ganz klar und hoffe mir kann jemand weiter helfen.
Der Beweis startet:
Seien $n, n-1 [mm] \in [/mm] [y,x]$. Dann:
[mm]\integral_{n-1}^{n}{(t-[t])f'(t) dt}=(n-1)(f(n)-f(n-1))=n f(n)-(n-1) f(n-1)-f(n)[/mm]
Wieso muss das so sein? ich hatte raus das das Integral den Wert n f(n) - (n-1) f(n-1) hat. Ich versteje nicht warum im Beweis noch ein -f(n) steht
Setze nun $m=[y]$ und $k= [x]$. Summiere von $n=m+1$ bis $n=k$ liefert:
[mm]\integral_{m}^{k}{(t-[t]) f'(t) dt}=\summe_{n=m+1}^{k} (n f(n)- (n-1) f(n-1))-\summe_{y
Hier ist mir leider nicht klar. Warum die zweite Summe nicht die selben Summationsgrenzen hat wie die erste. Kann mir das jemand erklären?
so erstmal bis hier dann versuche ich den Rest des Beweises weiter zu verstehen.
LG Schmetterfee
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Hallöchen,
ich verstehe leider nicht warum immer diese Fehlermitteilung auftaucht, wenn ich das integral über (t-[t])f'(t) dt betrachten will. Kann mir jemand sagen, was ich in den Formeleditor eingeben muss. Damit keine Fehlermeldung auftritt?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Mo 06.02.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast die Formeln nicht als solche markiert: [mm]...[/mm].
Dann versucht das System, Markierungen einzufügen, aber dabei entstehen Teilformeln mit einzelnen geschweiften Klammern.
Ich hab's korrigiert.
Viele Grüße
Rainer
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Da ist irgendwo der Wurm drin. Die Formel für [mm]\int \limits_{n-1}^n \left( t - [t] \right) \cdot f'(t) ~ \mathrm{d} t[/mm] stimmt nicht. Für konkret [mm]f(t) = t[/mm] und [mm]n=1[/mm] ergibt die linke Seite [mm]\frac{1}{2}[/mm], die rechte 0.
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Hallöchen,
genau das ist ja mein Problem. Ich komme damit auch auf keinen grünen Zweig. Wir haben kein Vorlesungsskript sondern nur Mitschriften von uns und wir haben alle das selbe von der Tafel abgeschrieben. ich finde den Beweis auch in keinem anderen Buch wieder.
Aber wenn das schon falsch ist. Muss der ganze Beweis doch scheitern oder?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 08.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Di 07.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallöchen,
>
> ich arbeite gerade einen Beweises meines Skriptes durch der
> mich nahezu verzweifeln lässt und ich hoffe auf etwas
> Unterstützung. Es geht um den Satz:
> Sei [mm]f \in C^1 [y,x][/mm] mit [mm]y
> [mm]\summe_{y
>
Also ich bin der Ansicht, dass diese Formel wenigstens stimmt:
Es ist [mm] $\summe_{y
Analog [mm] $\integral_{y}^{a}(t-[/mm] [t])f'(t)dt= [mm] \integral_{y}^{a}(t-[y])f'(t)dt= [(t-[y])f(t)]_{y}^{a}- \integral_{y}^{a}f(t)dt= [/mm] (a-[y])f(a)- (y-[y])f(y)- [mm] \integral_{y}^{a}f(t)dt= [/mm] f(a)- (y-[y])f(y)- [mm] \integral_{y}^{a}f(t)dt$ [/mm] und [mm] $\integral_{b}^{x}(t-[/mm] [t])f'(t)dt= [mm] \integral_{b}^{x}(t-b)f'(t)dt= [(t-b)f(t)]_{b}^{x}- \integral_{b}^{x}f(t)dt= [/mm] (x-b)f(b)- [mm] \integral_{b}^{x}f(t)dt$. [/mm]
Insgesamt:
[mm] $\integral_{y}^{x}(t-[/mm] [t])f'(t)dt= [mm] \integral_{y}^{a}(t-[/mm] [t])f'(t)dt+ [mm] \sum_{n=a}^{b-1} \integral_{n}^{n+1}(t-[/mm] [t])f'(t)dt+ [mm] \integral_{b}^{x}(t-[/mm] [t])f'(t)dt= f(a)- (y-[y])f(y)- [mm] \integral_{y}^{a}f(t)dt+ \sum_{n=a}^{b-1} [/mm] f(n+1)- [mm] \integral_{n}^{n+1}f(t)dt+ [/mm] (x-b)f(b)- [mm] \integral_{b}^{x}f(t)dt= [/mm] f(a)+ [mm] \sum_{n=a+1}^{b} [/mm] f(n)- [mm] (\integral_{y}^{a}f(t)dt+ \sum_{n=a}^{b-1}\integral_{n}^{n+1}f(t)dt+\integral_{b}^{x}f(t)dt [/mm] + (x-b)f(b)- (y-[y])f(y)= [mm] \sum_{n=a}^{b} [/mm] f(n)- [mm] \integral_{y}^{x}f(t)dt+ [/mm] (x-[x])f(b)- (y-[y])f(y)$. Umformeln: [mm] $\sum_{n=a}^{b} [/mm] f(n)= [mm] \integral_{y}^{x}(t-[/mm] [t])f'(t)dt+ [mm] \integral_{y}^{x}f(t)dt-((x-[x])f(b)- [/mm] (y-[y])f(y))$.
Die schlechte Darstellung kann ich mir auch nicht erklaeren.
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Hallöchen,
okay soweit habe ich das nun verstanden. Sehe ich das denn Richtig, dass in der Ausgangsformel ein Vorzeichenfehler ist? Denn du hattest ja vor beiden Randwerttermen ein -Vorzeichen. In dem Satz steht aber nur vor dem y- term ein Minusvorzeichen und vor dem anderen ein positives.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Do 09.02.2012 | | Autor: | hippias |
Also ich habe mir die Rechnung nocheinmal angeschaut und habe keinen Vorzeichenfehler meinerseits entdecken koennen. Ihr werdet die Formel vermutlich fuer irgendetwas anderes benutzt haben, sodass Du an der Stelle nocheinmal die Vorzeichen vergleichen koenntest.
Aber einen Fehler habe ich doch gefunden: Am Ende habe ich $f(b)$ geschrieben, obwohl $f(x)$ richtig gewesen waere.
Ciao!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 11.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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