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Forum "Sequences" - "Folge" rekursiv mit Gleichung
"Folge" rekursiv mit Gleichung < Sequences < Calculus < Grades 11-12 < School < Maths <
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"Folge" rekursiv mit Gleichung: editiert
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:27 Do 24/06/2010
Author: hawkingfan

Hallo!

Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.

z.b::

$ [mm] 4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1) [/mm] $

seien immer die Lösungen aus IN für $ [mm] a_i [/mm] $ gesucht.
Für $ [mm] a_{i-1}=4 [/mm] $ gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).

Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele Lösungen hat) für die Folge zu finden.

Grüße, hawkingfan

        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:31 Do 24/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive
> Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung
> ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.
>  Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite
> Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele
> Lösungen hat) für die Folge zu finden.
>  
> Grüße, hawkingfan


Gib doch bitte das Beispiel an, damit man sehen kann,
worum es wirklich gehen soll und was du mit den "mehreren
Lösungen" meinst !

LG


Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 19:14 Do 24/06/2010
Author: hawkingfan

z.b::

[mm] 4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1) [/mm]

seien immer die Lösungen aus IN für [mm] a_i [/mm] gesucht.
Für [mm] a_{i-1}=4 [/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: bitte kontrollieren !
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 20:47 Do 24/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> z.b::
>  
> [mm]4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1)[/mm]
>  
> seien immer die Lösungen aus IN für [mm]a_i[/mm] gesucht.
>  Für [mm]a_{i-1}=4[/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).


hallo hawkingfan,

stimmt die Gleichung so, wie sie dasteht ?

(das wäre so etwas wie eine "diophantische
Exponentialgleichung" für das gesuchte [mm] a_i [/mm] !)

Sollte die Gleichung nicht z.B. so aussehen:

     [mm]4\,\left(a_{i-1}-\bruch{1}{2}\,a_{i}\right)\,=\ -\left(5a_{i}+2\right)\,*\,(-1)^{a_{i-1}}[/mm]


LG     Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:55 Do 24/06/2010
Author: hawkingfan

eigentlich ist es korrekt aufgeschrieben.

Bezug
                                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:56 Do 24/06/2010
Author: angela.h.b.


> eigentlich ist es korrekt aufgeschrieben.

Hallo,

ich verstehe "eigentlich" nicht.
ist nun Deine Version richtig, oder Al-Chwarizmis?

Gruß v. Angela


Bezug
                                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:37 Do 24/06/2010
Author: hawkingfan

Mit "eigentlich" meine ich, dass es mit der Version, die ich woanders (irgendein ausgedruckter Zettel von einem Kommilitonen) gefunden habe, übereinstimmt. Kann natürlich auch sein, dass auf dem Zettel ein Druck-Fehler ist.

Bezug
                                                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:01 Do 24/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> Mit "eigentlich" meine ich, dass es mit der Version, die
> ich woanders (irgendein ausgedruckter Zettel von einem
> Kommilitonen) gefunden habe, übereinstimmt. Kann
> natürlich auch sein, dass auf dem Zettel ein Druck-Fehler
> ist.


Hallo hawkingfan,

ich vermute Letzteres, denn die Gleichung ist für
die Unbekannte [mm] a_i [/mm] eine sonderbare Mischung aus
linearer und Exponentialgleichung, wobei die Basis
gleich -1 ist, d.h. allfällige Lösungen wären von
vornherein auf ganze Zahlen beschränkt ...
Wie hast du die Lösungen (8 und 1 erfüllen die
Gleichung für [mm] a_{i-1}=4 [/mm] tatsächlich) überhaupt
ermittelt ?

LG  und [gutenacht]


Al-Chw.


Nachtrag:

Das Rätsel hat sich gelöst. Siehe
da !

Bezug
                                                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:34 Fr 25/06/2010
Author: hawkingfan

Falls es noch jemanden interessiert:
Dass es mehrere Lösungen könnte ist, finde ich, naheliegend. Eigentlich immer, wenn es zwei Sachen gibt, deren Differenz etwas ergeben soll, gucke ich das erstmal.

Bezug
        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Reihenfolge umkehren !
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:59 Fr 25/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive
> Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung
> ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.
>  
> z.b::
>  
> [mm]4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1)[/mm]
>  
> seien immer die Lösungen aus IN für [mm]a_i[/mm] gesucht.
>  Für [mm]a_{i-1}=4[/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).
>
> Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite
> Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele
> Lösungen hat) für die Folge zu finden.
>  
> Grüße, hawkingfan


Hallo hawkingfan,

nachdem ich bei dieser Frage schon fast kapituliert
hatte, habe ich mir das Ganze nochmals angeschaut und
dann plötzlich gemerkt, was hier das Problem war und
was eigentlich hinter der Aufgabe steckt. Es handelt
sich sogar um prominente Zahlenfolgen mit einem eigenen
Namen, mit einer kleinen Modifikation:

So wie du die "Rekursionsformel" angegeben hast, ist
es eben gar keine "richtige" Rekursionsformel, da sie
zu gegebenem [mm] a_{i-1} [/mm] ja eben gar nicht immer einen eindeu-
tigen Wert für das nachfolgende Glied [mm] a_i [/mm] liefert.
Wenn man aber ganz einfach die Reihenfolge umkehrt,
also gewissermaßen "rückwärts" rechnet, so kommt man
zu einer eindeutig bestimmten, rekursiv definierten
Zahlenfolge ! Für eine Folge [mm] _{i\in\IN} [/mm] , deren Glieder
der Gleichung

      [mm]4\left(\,c_{i}-\bruch{1}{2}\,c_{i-1}\,\right)\ =\ -(\,5\,c_{i-1}+2)(\,(-1)^{c_{i-1}}-1\,)[/mm]

genügen, kann man als Startglied [mm] c_1 [/mm] eine beliebige natürliche
Zahl nehmen und erhält dann eine eindeutig rekursiv definierte
sogenannte "Collatz-Folge". Mit diesen Folgen ist ein bis heute
ungelöstes zahlentheoretisches Problem verbunden.


LG     Al-Chw.  


Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:24 Fr 25/06/2010
Author: hawkingfan

Ah, super.
Diese Formel für die Collatz-Folge war mit bisher unbekannt, steht auch nicht im deutschen Wikipedia-Eintrag. Daher kommt dann wahrscheinlich auch das wissende Grinsen meines Kommilitonen.
Danke!

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 16:34 Fr 25/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> Ah, super.
>  Diese Formel für die Collatz-Folge war mit bisher
> unbekannt, steht auch nicht im deutschen Wikipedia-Eintrag.
> Daher kommt dann wahrscheinlich auch das wissende Grinsen
> meines Kommilitonen.
>  Danke!


Naja, die Formel, die du angegeben hast, war mir zuerst
auch ganz fremd und rätselhaft; ich bin der Sache auch
erst nach etlicher Zeit auf die Spur gekommen. Der
entscheidende Moment war der, als ich feststellte, dass
in der Gleichung mit dem Teilterm  [mm] (-1)^{a_i}-1 [/mm] als Faktor
eine Fallunterscheidung nach geraden oder ungeraden
Werten von [mm] a_i [/mm] getroffen werden kann.

Was mich noch interessieren würde: In welchem genauen
Zusammenhang ist die Gleichung denn aufgetreten ?


LG    Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:13 Fr 25/06/2010
Author: hawkingfan

Die Aufgabe war auf so einem Zettel mit Aufgaben zum Knobeln. Da sind ja häufiger Probleme, die einen auf irgendwas berühmtes  und ungelöstes stoßen lassen.

Bezug
        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:28 Fr 25/06/2010
Author: hawkingfan

Mich würde mal interessieren, wie man allgemein solche Aufgaben löst (also aus rekursiv definierten Folgen, explizit definierte machen).
Es gibt ein paar Formeln, für so etwas wie
[mm] a_{i}=\alpha\*a_{i-1}+K. [/mm]
Gibt es für sowas wie
[mm] a_{i}=a_{i-1}^2 [/mm] auch Formeln?
Gibt es vielleicht allgemeine Lösungsansäzte?

grüße, hawkingfan

Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:02 Sa 26/06/2010
Author: Al-Chwarizmi

Hallo hawkingfan


> Mich würde mal interessieren, wie man allgemein solche
> Aufgaben löst (also aus rekursiv definierten Folgen
> explizit definierte machen).
>  Es gibt ein paar Formeln, für so etwas wie
>  [mm]a_{i}=\alpha\*a_{i-1}+K.[/mm]

>  Gibt es für sowas wie
>  [mm]a_{i}=a_{i-1}^2[/mm] auch Formeln?

Natürlich - und die kannst du auch ganz leicht selber herleiten !

>  Gibt es vielleicht allgemeine Lösungsansätze?

Nein, die Vielfalt möglicher Rekursionsformeln ist
viel zu groß, als dass man da ein allgemeines Rezept
angeben könnte.

Bestimmte "allgemeine" Formeln beziehen sich stets
nur auf einen ganz eng begrenzten Typ von Rekursions-
formeln.

LG     Al-Chwarizmi

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 08:11 So 27/06/2010
Author: hawkingfan

Gibt es irgendwo eine Übersicht dieser Formeln?

Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:42 So 27/06/2010
Author: Al-Chwarizmi


> Gibt es irgendwo eine Übersicht dieser Formeln?


Keine Ahnung. Da müsste ich auch googeln.

Eine Übersicht aller derartigen Formeln gibt es
aber bestimmt nicht, da es unendlich viele geben
müsste.

LG    Al-Chw.


Bezug
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