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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - GSV/ESV und Konvergenz
GSV/ESV und Konvergenz < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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GSV/ESV und Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:13 Di 14.02.2017
Autor: Herbart

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zum Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren. Angenommen ich habe eine (3x3)-Matrix $A$. Nach dem notwendigen und hinreichenden Kriterium der Konvergenz für die beiden Verfahren muss gelten, dass der Spektralradius [mm] $\rho(T)=\max\{|\lambda_i|:i=1,...,n; \lambda_i \mbox{ ist EW von}T\}$ [/mm] der jeweiligen Iterationsmatrizen kleiner 1 sein muss.
Wir haben die Iterationsmatrix [mm] $J_{GSV}$, [/mm] die Eigenwerte [mm] $\lambda_1\in\IR$ [/mm] und [mm] $\lambda_2,\lambda_3\in\IC$ [/mm] besitzt mit [mm] $|\lambda_1|<|\lambda_2|\le|\lambda_3|$ [/mm] und [mm] $|\lambda_1|<1$ [/mm] sowie [mm] $1<|\lambda_2|\le|\lambda_3|$. [/mm]
Ist nun [mm] $\rho(J_{GSV})$ [/mm] größer oder kleiner als 1? (Konvergiert das Verfahren oder nicht?)
D.h. zählen die komplexen Eigenwerte auch mit oder nicht?

Beispiel:
[mm] $$J_{GSV}=\pmat{ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ -\frac{3}{4}& 0 & -\frac{5}{4}\\ 0 & 0 & 0}$$ [/mm]
hat Eigenwerte [mm] $\lambda_1=0$, $\lambda_2=i\sqrt{3}$, $\lambda_3=-i\sqrt{3}$. [/mm] Offenbar hängt hier die Konvergenz wegen [mm] $\rho(J_{GSV})$ [/mm] davon ab, ob komplexe Eigenwerte "mitgezählt" werden oder nicht.

Viele Grüße
Herbart

        
Bezug
GSV/ESV und Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Fr 17.02.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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