Holomorphie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Di 07.02.2012 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f mit:
[mm] f(x+iy)=\begin{cases} \bruch{x^3-y^3}{x^2+y^2}+i*\bruch{x^3+y^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } x+iy \mbox{ ungleich} \\0, & \mbox{für } x+iy \mbox{ gleich} 0 \end{cases}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass f im Punkt [mm] z_0=0 [/mm] die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.
(b) Zeigen Sie, dass f im Punkt [mm] z_0=0 [/mm] nicht komplex differenzierbar ist. |
Hallo Leute. Dazu habe ich eine Verständnisfrage. Ich habe jetzt gezeigt, dass die CR-DGLs erfüllt sind (a).
1. Habe ich nicht damit bewiesen, dass die Funkteion auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist?
2. Wenn 1. bewiesen wurde ist durch die Holomorphie nicht sofort auf die komplexe Differenzierbarkeit zu schliessen?
3. Wenn 1. & 2. stimmt, wieso ist dann in (b) klar und deutlich, dass es nicht komplexdiffbar ist in [mm] z_0.
[/mm]
Würde mich echt freuen wenn mir geholfen wird.
Paar hilfreiche Stellen aus dem Skript:
"Sind u und v auf D stetig partiell differenzierbar und gelten dort die Cauchy-
Riemannschen Differentialgleichungen
ux = vy, uy = −vx, (21.8)
so ist f auf D holomorph, [...]."
VIelen Dank im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 07.02.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Random,
du hast dir die Anwort im letzten Abschnitt selbst hingeschrieben würde ich sagen. Ohne es nachgerechnet zu haben, behaupte ich, dass die Funktion nicht stetig partiell diffbar (in Null) ist.
Ansonsten kann ich mich nicht erinnern, dass (bezogen auf dein 1.) holomorphie in einem Punkt, holomorphie auf ganz [mm] \IC [/mm] zur Folge hat. Vielmehr braucht man komplexe Diffbarkeit in einer Umgebung um einen Punkt [mm] z_0 [/mm] , damit man überhaupt von holomorphie in [mm] z_0 [/mm] reden kann.
Evtl. verwechselst du das mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen?
Aber ich stelle mal nur auf tw. beantwortet, dann kann jemand was sagen, der besser in der Materie ist.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Di 07.02.2012 | | Autor: | Random |
Nene. Holomorphie im Punkt [mm] z_0 [/mm] ist nicht gleich Holomorphie auf ganz [mm] \IC [/mm] war mein Fehler :D.
Okay also gelten die CR-DGLs in einem Punkt [mm] z_0, [/mm] so muss es nicht heissen, dass dort Komplexe Differenzierbarkeit gewährrleistet ist ^^. Das sollte wohl der Sinn der Übung sein. Und es wird wohl genau daran liegen, dass Stetigkeit im Punkt [mm] z_0 [/mm] fehlt.
Habe es glaub ich richtig verstanden! Danke!
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> Nene. Holomorphie im Punkt [mm]z_0[/mm] ist nicht gleich Holomorphie
> auf ganz [mm]\IC[/mm] war mein Fehler :D.
Holomorph bedeutet nach Definition komplex differenzierbar auf einem offenen Gebiet. Holomorphie in einem einzelnen Punkt [mm] z_0 [/mm] ist nicht definiert und ergibt keinen Sinn, so dass hier nur nach komplexer Differenzierbarkeit gefragt werden kann.
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> Okay also gelten die CR-DGLs in einem Punkt [mm]z_0,[/mm] so muss es
> nicht heissen, dass dort Komplexe Differenzierbarkeit
> gewährrleistet ist ^^. Das sollte wohl der Sinn der Übung
> sein. Und es wird wohl genau daran liegen, dass Stetigkeit
> im Punkt [mm]z_0[/mm] fehlt.
Komplex differenzierbar in [mm] z_0 [/mm] ist äquivalent zu stetig partiell diff'bar + Cauchy-Riemann.
Und der Knackpunkt in diesem Beispiel ist wie du schon bemerkt hast die Unstetigkeit der partiellen Ableitungen.
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> Habe es glaub ich richtig verstanden! Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Mi 08.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Allgemein:
Sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und $f:D [mm] \to \IC$ [/mm] eine Funktion. Ist [mm] $z_0 \in [/mm] D$, so gilt:
f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar
[mm] \gdw
[/mm]
f ist in [mm] z_0 [/mm] reell differenzierbar und in [mm] z_0 [/mm] sind die CRDen erfüllt.
Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist in [mm] z_0=0 [/mm] nicht reell differenzierbar.
FRED
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