Lotfußpunkt bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die 3 Punkte [mm]P_1=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},P_2= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, P_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
a)Bestimme die Gleichung der Ebene in Parameterform und in Skalarform.
b)Bestimmen sie den Lotfußpunkt des Punktes [mm]Q=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm] auf die Ebene. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe probleme damit den Lotfußpunkt zu bestimmen.
mein Normalenvektor [mm] ist:\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}
[/mm]
damit ist die Ebenen Gleichung in Skalarform:
[mm]E: -2x-4y-6z-d[/mm] [mm]d=-2[/mm]
wie gehe ich jetzt weiter vor?
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Danke für die schnelle Antwort leider hab ich immer noch keine Ahnung wie ich das genau rechne.
wenn ich das richtig verstanden habe,
stelle ich die Geradengleichung durch meinen Punkt [mm] $Q=\begin{pmatrix}-2\\5\\7\end{pmatrix} [/mm] für h auf mit:
$h: [mm] \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}$
[/mm]
diese verläuft senkrecht zur ebene und durch den Punkt Q
ich habe nun probiert zeilenweise [mm] ($x_1, y_1, z_1$ [/mm] ) in
$E: -2x-4y-6z=2$ einzusetzen komme damit aber nicht auf was das richtig aussieht.
könnte mir mal jemand mit meinen Zahlen vorrechnen wie ich was wo einsetzte und warum?
Wenn man keine Ahnung hat gibt es einfach zu viele Möglichkeiten etwas irgendwo einzusetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Di 07.02.2012 | | Autor: | chrisno |
Wenn ich nicht schon wieder mal etwas übersehen habe, bist Du auf dem richtigen Weg.
Setz mal ein, für x: $-2 [mm] -2\lambda$ [/mm] und so weiter. Dann hast Du eine Gleichung für [mm] $\lambda$. [/mm] Wenn Du den Wert für [mm] $\lambda$ [/mm] dann in die Geradengleichung einsetzt, hast Du den gesuchten Punkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 07.02.2012 | | Autor: | georg1982 |
so danke an alle die geholfen haben, ich habe die Aufgabe nun gelöst:
noch mal zum zusammenfassen, der Lotfußpunkt [mm] $x_0$ [/mm] wird folgendermaßen berechnet.
es wird erst einmal die Lotgerade durch den Punkt [mm] $Q=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$ [/mm] mit dem Normalenvektor von E aufgestellt.
damit: $h: [mm] \vec{x_0}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}$
[/mm]
jetzt setzt man die einzelnen Zeilen [mm] $x_1,y_1,z_1$ [/mm] von $h:$ für das $x y und z$ in der Gleichung $E:$ ein
$E: -2x-4y-6z=-2$
$ [mm] -2(-2-2\lambda)-4(5-4\lambda)-6(7-6\lambda)=-2$
[/mm]
$ 56s=56$
[mm] $\lambda=1$ [/mm]
Einsetzen von $1$ in $h$
$h: [mm] \vec{x_0}=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mi 08.02.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Yup, so ist das richtig.
Nur ist mir nicht ganz klar, woher das [mm]s[/mm] in Deiner viertletzten Zeile kommt:
> [mm]56s=56[/mm]
Das muss natürlich
[mm]56\lambda=56[/mm]
lauten.
Und zum Ergebnis: Denke daran, dass [mm]\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] nicht der Lotfußpunkt, sondern sein Ortsvektor ist. Du musst in Deiner Antwort also den Punkt angeben: [mm]L (-4\,/\,1\,/\,1)[/mm].
Gruß - Kalle.
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