matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

For pupils, students, teachers.
Hello Guest!Log In | Register ]
Home · Forum · Knowledge · Courses · Members · Team · Contact
Navigation
 Home...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Tools...
 Agency for private tuition beta...
 Online Games beta
 Search
 Registered Society...
 Contact
Forenbaum
^ Tree of Forums
Status Maths
  Status School
    Status Grades 1-4
    Status Grades 5-7
    Status Grades 8-10
    Status Grades 11-12
    Status Mathematical Contest
    Status School maths - Miscellaneous
  Status University
    Status Uni-Calculus
    Status Uni-LinA u. Algebra
    Status Algebra and Number Theoriy
    Status Discrete Mathematics
    Status Teaching Methodology
    Status Financial Maths and Actuarial Theory
    Status Logic and Set Theory
    Status 
    Status Stochastic Theory
    Status Topology and Geometry
    Status Uni Maths - Miscellaneous
  Status Courses on maths
    Status 
    Status 
    Status Universität
  Status Software for maths
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Calculators

Only forums with an interest level bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
The project is organised by our team of coordinators.
Hundreds of members help out in our moderated forums.
Service provider for this webpage is the Registered Society "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Menge in der Potenz
Menge in der Potenz < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Menge in der Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Di 24.04.2018
Autor: Mandy_90

Hallo Leute,
ich hab mal eine allgemeine Frage. Sei [mm] M=\{1,2,3 \} [/mm] eine Menge. Was ist dann [mm] 2^{M} [/mm] ? Ist das überhaupt definiert ?

lg
Mandy

        
Bezug
Menge in der Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Di 24.04.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Leute,
> ich hab mal eine allgemeine Frage. Sei [mm]M=\{1,2,3 \}[/mm] eine
> Menge. Was ist dann [mm]2^{M}[/mm] ? Ist das überhaupt definiert ?

>

Ja: das ist eine von mehreren gebräuchlichen Schreibweisen für die Potenzmenge einer Menge. D.h. in diesem Fall:

[mm]2^M= \left \{ \emptyset;\left \{1\right \};\left \{2\right \};\left \{3\right \}; \left \{ 1;2 \right \}; \left \{1;3 \right \} \left\{ 2;3\right \} \left\{ 1;2;3 \right \} \right \}[/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Menge in der Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Di 24.04.2018
Autor: fred97


> Hallo Leute,
>  ich hab mal eine allgemeine Frage. Sei [mm]M=\{1,2,3 \}[/mm] eine
> Menge. Was ist dann [mm]2^{M}[/mm] ? Ist das überhaupt definiert ?
>  
> lg
>  Mandy  

Diophant hat ja das Relevante gesagt.  Aber man sollte noch erwähnen, woher diese Bezeichnungsweise  kommt:

Hat M n Elemente , so hat die Potenzmenge von M [mm] 2^n [/mm] Elemente.

Bezug
        
Bezug
Menge in der Potenz: mengentheoret. Hintergrund
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Di 24.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo Leute,

> ich hab mal eine allgemeine Frage. Sei [mm]M=\{1,2,3 \}[/mm] eine
> Menge. Was ist dann [mm]2^{M}[/mm] ? Ist das überhaupt definiert ?


Hallo Mandy

Noch eine weitere Ergänzung:
Um diese Schreibweise mengentheoretisch zu verstehen, sollte
man noch wissen, dass für zwei beliebige Mengen $\ A$ und $\ B$
die Menge  $\ [mm] P\, [/mm] :=\ [mm] A^B$ [/mm]  definiert ist als die Menge aller
möglichen Funktionen von $\ B$ nach $\ A$.

Jede einzelne solche Funktion hat als Definitionsmenge die
Menge $\ B$, und alle ihre (jeweils eindeutig festgelegten) Werte
sind Elemente von $\ A$.

Um nun die Schreibweise  $\ [mm] 2^M$ [/mm]  (mit einer gegebenen Menge M)
in dieser Weise interpretieren zu können, muss auch die Basis
$\ 2$ in dieser Notation als eine Menge aufgefasst werden können.
Dies macht man in der axiomatischen Mengenlehre so, dass man
festsetzt:

$\ [mm] 2\,:= \{0,1\}$ [/mm]

aufbauend auf

$\ [mm] 0\,:=\ \{\}$ [/mm]            (leere Menge)
$\ [mm] 1\,:=\ \{0\}\ [/mm] =\ [mm] \{\{\}\}$ [/mm]     (Menge mit dem einzigen Element 0 )

Ausführlich notiert ist dann also  $\ [mm] 2\,=\ \{0,1\}\ [/mm] =\ [mm] \{\{\},\{\{\}\}\}$ [/mm]

Soweit ein kleiner Einblick in die Methode, nach der man in
der axiomatischen Mengenlehre (nach Zermelo-Fraenkel) das
Zahlenreich quasi aus dem "Nichts" aufbaut ...

Kommen wir jetzt konkret zum Beispiel der Menge

        $\ [mm] P\,:=\ 2^M$ [/mm]  mit  $\ [mm] M\,=\, \{1,2,3\}$ [/mm]

Die Menge P enthält alle Funktionen mit Definitionsbereich M
und mit Werten in der Menge  $\ 2$ = {0,1}.

Ein ganz konkretes Beispiel eines Elementes von P wäre also
etwa die Funktion  $\ [mm] f:\, M\,\mapsto\, [/mm] 2 $  mit

     f(1) = 1
     f(2) = 0
     f(3) = 1

Diese Funktion f kann man nun z.B. auch eindeutig charakterisieren,
indem man einfach die Menge jener Elemente von M angibt, welchen
der Wert 1 zugeordnet ist. Im vorliegenden Beispiel also die Menge
  
     $\ [mm] T_f(M)\ [/mm] =\ [mm] \{1,3\}$ [/mm]

Für jedes Element  $\ [mm] x\,\in\, [/mm] M$  gelte:   $\ [mm] x\,\in T_f(M)\ \gdw\ f(x)\,=\,1$ [/mm]

Es ist nun leicht zu zeigen, dass die Menge aller möglichen Funktionen

     $\ [mm] f:\, M\,\mapsto\, [/mm] 2 $

äquivalent ist zur Menge aller Teilmengen von M, also zur sogenannten
"Potenzmenge" von M.
Auch dass diese Menge dann jeweils [mm] 2^m [/mm] Elemente besitzt, wenn die
Menge M aus m Elementen besteht, ist dann trivial.

Die Bezeichnung "Potenzmenge" für die Menge aller Teilmengen einer
vorliegenden Menge ist aber so gesehen eigentlich nur ein recht simpler
Spezialfall unter einem im Kern betrachtet wesentlich reichhaltigeren
Begriff.

LG ,   Al-Chwarizmi



Bezug
                
Bezug
Menge in der Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:35 Do 26.04.2018
Autor: Mandy_90

Danke Al-Chwarizmi,  dass du das so ausführlich erklärt hast. Das hat mir sehr geholfen.

lg
Mandy_90

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status 26m ago 3. Noya
FunkAna/beschränkter linearer Operator
Status 2h 04m ago 25. donp
SAnaSonst/Zylinder aus O und V
Status 5h 17m ago 2. donp
USons/Bedeutung von dx, dt in Formel
Status 5h 21m ago 3. Noya
FunkAna/Jensensche Ungleichung
Status 8h 10m ago 3. Maxi1995
UAnaR1/Reaktion - erwünscht
^ Seitenanfang ^
www.mathspace.org
[ Home | Forum | Knowledge | Courses | Members | Team | Contact ]