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Mengenlehre - Operationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 22.10.2017
Autor: Flauschling

Aufgabe
Wählen Sie auf alle Arten 2 der 3 Bedingungen "reflexiv", "symmetrisch", "transitiv" aus und geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Relation, die diese 2 Bedingungen aber nicht die dritte erfüllt.
Tipp: Betrachten Sie eine 4-elementige Menge

Hallo erst mal,
Suche eine Erklärung für diese Aufgabenstellung und möglichst ein Beispiel für deren Bearbeitung. Würde mich über Hilfe freuen.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 So 22.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Wählen Sie auf alle Arten 2 der 3 Bedingungen "reflexiv",
> "symmetrisch", "transitiv" aus und geben Sie jeweils ein
> Beispiel für eine Relation, die diese 2 Bedingungen aber
> nicht die dritte erfüllt.
>  Tipp: Betrachten Sie eine 4-elementige Menge
>  Hallo erst mal,
>  Suche eine Erklärung für diese Aufgabenstellung und
> möglichst ein Beispiel für deren Bearbeitung. Würde mich
> über Hilfe freuen.


Hallo Flauschling,         [willkommenmr]

da soll man z.B. auf der Menge M = {a,b,c,d}  eine Relation
definieren, die reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv
ist.

Dann eine, die reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch
ist. Und schließlich eine, die symmetrisch und transitiv, aber
nicht reflexiv ist.

Um derartige Relationen zu suchen, hat man grundsätzlich
recht freien Spielraum. Deshalb würde ich erstmal raten, mit
solchem "Spielen" einfach zu beginnen !

Definieren (festlegen) kann man eine bestimmte Relation z.B.
durch Aufzählung aller ihrer Elemente (jedes Element einer
Relation auf einer Menge ist ein Paar von Elementen der Menge).
Vielleicht ist es aber dann auch möglich, eine gewisse Relation
"eleganter" zu beschreiben.

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Mengenlehre - Operationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 So 22.10.2017
Autor: Flauschling

Zwei der Eigenschaften zu kombinieren (und dabei das dritte noch rauszulassen) erscheint mir schwierig.
Ich kann irgendwie nur (einfache) Beispiele für jeweils eine Eigenschaft finden.
reflexiv: A=A; [mm] x\in [/mm] m:  x~x
transitiv: x~y und y~z [mm] \Rightarrow [/mm] x~z
symmetrie: A=B [mm] \gdw [/mm] B=A

Wie kann ich denn nun zwei dieser Eigenschaften zusammen in eine Relation bekommen?

Bezug
                        
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Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 22.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Wie kann ich denn nun zwei dieser Eigenschaften zusammen in eine Relation bekommen?

wie Al bereits schrieb, kann man eine Relation durch 2-Tupel schreiben.
D.h. bspw. $(x,x)$ steht für [mm] $x\sim [/mm] x$.

Und dann DEFINIEREN wir uns unsere Relation einfach so, ohne Formel, wie wir sie haben wollen.

Ich will bspw. eine Relation definieren, die reflexiv auf der 4-elementigen Menge ist… na dann muss ich offensichtlich alle Tupel nehmen, wo das erste und das zweite Element gleich ist, also:

[mm] $R_1 [/mm] = [mm] \{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\}$ [/mm]

Und schon hab ich eine reflexive Relation auf der Menge… diese ist offensichtlich sogar symmetrisch UND Transitiv.

Nimm mal ein anderes 2-Tupel hinzu, und schau was passiert… das meinte Al mit "spielen".

Gruß,
Gono


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Mengenlehre - Operationen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:57 So 22.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi

das meinte Al mit "spielen".


exakt

Al

Bezug
        
Bezug
Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 22.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Wählen Sie auf alle Arten 2 der 3 Bedingungen "reflexiv",
> "symmetrisch", "transitiv" aus und geben Sie jeweils ein
> Beispiel für eine Relation, die diese 2 Bedingungen aber
> nicht die dritte erfüllt.
>  Tipp: Betrachten Sie eine 4-elementige Menge


(1.) Da soll man z.B. auf der Menge M = {a,b,c,d}  eine Relation
definieren, die reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv
ist.

Da könnte man zum Beispiel diese Relation R nehmen:

$\ R\ =\ [mm] \{\,(a,a),(b,b), (c,c), (d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)\,\}$ [/mm]

Um das zu finden, habe ich mir einfach auf einem Blatt zuerst
4 Punkte für die Elemente a,b,c,d markiert. Dann bei jedem
der 4 Punkte eine Schleife ("Loop") für die Reflexivität.
Dann die beiden Pfeile (a,b) und (b,c) sowie ihre Umkehrpfeile
(damit Symmetrie weiterhin erhalten bleibt). Und dann keinen
weiteren Pfeil. Weil nun z.B. der Pfeil (a,c) fehlt, ist die
Eigenschaft der Transitivität verletzt.



(2.) Dann eine, die reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch
ist.

Da starten wir auch wieder mit den 4 Punkten mit ihren lokalen
Loops (a,a), (b,b), (c,c), (d,d).  Dann könnte man z.B. noch den
Pfeil (a,b) hinzufügen und hätte schon ein Beispiel für eine reflexive
und transitive Relation, die aber nicht symmetrisch ist, falls a und b
wirklich für verschiedene Elemente stehen. Natürlich ginge es auch
etwas reichhaltiger, zum Beispiel mit der Grundmenge
$\ M\ =\ [mm] \{1,2,3,4\}$ [/mm]   und der darauf definierten Relation
$\ R\ =\ [mm] \{\, (x,y)\ | \ x\, \le\, y\,\}$ [/mm]

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Mengenlehre - Operationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Mo 23.10.2017
Autor: Flauschling

Okay. Also könnte man für 2.) R = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b)} als eine refelxive und transitive (aber nicht symmetrische) Relation annehmen?

Und als transitiv und symmetrisch:
R= {(a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), (c,d), (d,c)}?
Würde das so passen, oder habe ich etwas an der Erklärung missverstanden?

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Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Mo 23.10.2017
Autor: fred97


> Okay. Also könnte man für 2.) R = {(a,a), (b,b), (c,c),
> (d,d), (a,b)} als eine refelxive und transitive (aber nicht
> symmetrische) Relation annehmen?

Das passt.

>  
> Und als transitiv und symmetrisch:
>  R= {(a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), (c,d),
> (d,c)}?

Das passt nicht !  Dieses R ist nicht transitiv: wir haben (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,a) [mm] \in [/mm] R, aber nicht (a,a) [mm] \in [/mm] R !


>  Würde das so passen, oder habe ich etwas an der
> Erklärung missverstanden?


Bezug
                                
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Mengenlehre - Operationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Mo 23.10.2017
Autor: Flauschling

Also gehört (a,a) dann noch in die Relation rein, damit sie transitiv wird?

Hätte eigentlich gemeint, es wäre nicht mit drin, da bisher (a,a) u.ä. nur bei Relationen war, die dann zusätzlich noch reflexiv waren (also in Relation zu sich selbst stehend).
Würde dann keine Reflexivität entstehen?

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Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mo 23.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also gehört (a,a) dann noch in die Relation rein, damit sie transitiv wird?

Ja, denn nach der Definition muss es ja mit drin sein!

>  Würde dann keine Reflexivität entstehen?

Wenn NUR (a,a) drin wäre, dann nicht. Denn Reflexivität ist es ja erst, wenn ALLE Elemente der Menge zu sich in Relation stehen.
Aber bei deinem Vorschlag hast du ein Problem: Du verwendest alle Elemente der Menge mindestens einmal, da deine Relation symmetrisch und transitiv sein soll, ist sie gezwungenermaßen auch reflexiv!
Kannst du ja spaßeshalber mal zeigen: Hast du eine symmetrische Relation, wo jedes Element der Menge zu mindestens einem anderen in Relation steht, so ist die Relation zwingend auch reflexiv.

Der "Trick" besteht also darin, eine transitive & symmetrische Relation zu bauen, die nicht alle Elemente deiner Menge enthält.

Tipp: Einelementige Relationen sind gezwungenermaßen transitiv…

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
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Mengenlehre - Operationen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Di 24.10.2017
Autor: Flauschling

Okay, also nicht alle Elemente der Menge M={a,b,c,d}.
Sollte dann R={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} die Anforderungen (transitiv und symmetrisch) erfüllen?

Bezug
                                                        
Bezug
Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Di 24.10.2017
Autor: fred97


> Okay, also nicht alle Elemente der Menge M={a,b,c,d}.
>  Sollte dann R={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} die
> Anforderungen (transitiv und symmetrisch) erfüllen?

Nein. Wir haben (a,b) [mm] \in [/mm] R und (b,c) [mm] \in [/mm] R aber (a,c) [mm] \notin [/mm] R.

R ist also nicht transitiv.


Bezug
                                                        
Bezug
Mengenlehre - Operationen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Do 26.10.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay, also nicht alle Elemente der Menge M={a,b,c,d}.
>  Sollte dann R={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (c,b)} die
> Anforderungen (transitiv und symmetrisch) erfüllen?

Wie Fred schon mitteilte, passt dies nicht. Doch könnte
man das mit dem "nicht alle Elemente der Menge M"
hier einmal ganz radikal auffassen.

Untersuche einmal die "leere" Relation  R = { } auf der
Menge M  auf die Eigenschaften Symmetrie, Transitivität
und Reflexivität !

LG ,    Al-Chwarizmi  


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