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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Orthogonaler Unterraum
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Orthogonaler Unterraum: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Fr 21.04.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei U ein Untervektorraum von [mm] \IR_m. [/mm] Das orthogonale Komplement von U ist U⊥ = {v [mm] ∈\IR_m [/mm] : für alle u ∈ U gilt <u, v> = 0}.
(a) Zeigen Sie, dass U⊥ ein Untervektorraum von [mm] \IR_m [/mm] ist.
(b) Zeigen Sie dimU + dimU⊥ = m.
(c) Zeigen Sie U ⊕U⊥ = Rm.
(d) Zeigen Sie U⊥⊥ = U.

Hallo,
ich bin ab Aufgabe b) stecken geblieben.
Teil a.) war kein Problem.
B.) und c.) sind ja äquivalent? Wenn b) beweise, folgt die direkte Summe.
Ich komme aber leider nicht auf die Dimensionen.
In [mm] \IR_m [/mm] gäbe es ja maximal m verschiedene orthogonale Vektoren, aber dann wäre die Dimension von U(sekrecht) ja m?!
Bei d.) Ich kann mir unter U(doppelt senkrecht) nichts vorstellen.
Ich wäre sehr froh, um euere Hilfe! Danke!

        
Bezug
Orthogonaler Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 21.04.2017
Autor: leduart

Hallo
nimm [mm] d(U)\le [/mm] m an.  wieviel senkrechte Vektoren, die nicht in U liegen gibt es dann noch? mit d(U)=m nur der 0 Vektor , mit d(U)=0  m Vektoren  in [mm] U_\perp [/mm] usw-
du kannst ja z.B in U eine orthogonal Basis wählen, dann ist es besonders einfach.
nenne [mm] U_\perp=V [/mm] dann ist [mm] U_{\perp\perp}=V_\perp [/mm]
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Orthogonaler Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:02 Fr 21.04.2017
Autor: mariella22


Hallo,
danke für die Antwort!  
Warum bei dim(U)= m nur der 0-Vektor enthalten ist verstehe ich.
Aber warum gibt es bei dim(U)= 0 m Vektoren?
Wegen der Basis:
wenn ich
e1,..., [mm] e_m [/mm] als Standardbasis, dann ich hätte ich ja m orthonormale Vektoren, also Dimension m?


Wegen U(doppelt senkrecht),
U(senkrecht)  = (v [mm] \in \IR_m [/mm] : für alle u [mm] \in [/mm] U gilt <u, v> = 0)
aber wenn ich aus U(senkrecht) nochmals alle senkrechten stehenden Vektoren auswähle, ist das ja wieder derselbe Untervektorraum??

Tut mir leid aber ich glaube, ich stehe da leider grad ziemlich auf dem Schlauch.

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Orthogonaler Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Fr 21.04.2017
Autor: leduart

Hallo
[mm] U_\perp [/mm] enthält alle Vektoren, die zu Allen  [mm] u\in [/mm] U senkrecht sind, keinen einzigen Vektor aus u
anscheinend denkst du dir [mm] U_\perp [/mm] falsch, indem du dir unter V alle Vektoren vorstellst, die zu einem u:1 aus U senkrecht sind.
Beispiel [mm] \IR^3 [/mm] U={(1,0,0), (0,1,0)} die stehen zwar aufeinander senkrecht aber nur die Vektoren (0,0,r) sind zu beiden senkrecht, also ist [mm] U_\perp= [/mm] {(0,0,1) }
natürlich gehts auch anders U={(1,2,3), (1,1,0)}
ein Vektor der zu beiden senkrecht ist ist (r,-r,r/3) also spannt der [mm] U_\perp [/mm] auf.
in meinen Beispielen kannst du natürlich auch U und [mm] U_\perp [/mm] vertauschen.
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
Orthogonaler Unterraum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 So 23.04.2017
Autor: mariella22

Danke für die Hilfe!

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