Partielle Ableitung Wurzel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Fr 30.12.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | | [mm] r_{xx}= \wurzel{x^{2}; y^{2}} [/mm] |
Hallo beisammen,
ich soll die 2. partielle Ableitung von der obigen Funktion berechnen.
Jetzt steht im Buch eine Lösung hinten drin, die mich recht verwirrt und ich denke (hoffe) dass sie falsch ist...
Die Lösung im Buch: [mm] y^{2}* (x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Meiner Meinung müsste man aber auf folgenden Ansatz kommen:
[mm] r_{x}= \wurzel{x^{2}+ y^{2}} [/mm] (also erste partielle Ableitung)
--> [mm] x*(x^{2}+ y^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
und dann für [mm] r_{xx} [/mm] müsste doch dann die Produktregel angewandt werden, da ja das x als Produkt nochmal vorkommt, oder??
Danke
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Hallo Peterlee,
Du solltest dir mehr Mühe beim Eintippen geben bzw. die Vorschaufunktion nutzen ...
> [mm]r_{xx}= \wurzel{x^{2}; y^{2}}[/mm]
Was ist ";" ?
Wieso [mm] $r_{xx}$ [/mm] ? Das bezeichnet doch schon die 2.partielle Ableitung nach x ...
Du meinst du sollst [mm] $r_{xx}(x,y)$ [/mm] berechnen zur Funktion [mm] $r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$
[/mm]
> Hallo beisammen,
>
> ich soll die 2. partielle Ableitung von der obigen Funktion
> berechnen.
> Jetzt steht im Buch eine Lösung hinten drin, die mich
> recht verwirrt und ich denke (hoffe) dass sie falsch ist...
>
> Die Lösung im Buch: [mm]y^{2}* (x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm] ![[ok]](http://m7.teximg.de/static/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Meiner Meinung müsste man aber auf folgenden Ansatz
> kommen:
>
> [mm]r_{x}= \wurzel{x^{2}+ y^{2}}[/mm] (also erste partielle
> Ableitung)
Das kansnt du so nicht schreiben, [mm] $r_x$ [/mm] bezeichnet doch schon die Ableitung, du meinst [mm] $r_x(x,y)=\frac{\partial r}{\partial x}\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]$
[/mm]
>
> --> [mm]x*(x^{2}+ y^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
Richtig! Das ist [mm] $r_x(x,y)$
[/mm]
>
> und dann für [mm]r_{xx}[/mm] müsste doch dann die Produktregel
> angewandt werden, da ja das x als Produkt nochmal vorkommt,
> oder??
Ja, mache das mal! Dann kommst du, wenn du im weiteren Verlauf richtig zusammenfasst, genau auf den Term aus dem Buch ...
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Fr 30.12.2011 | | Autor: | PeterLee |
Hallo schachuzipus,
danke für die schnelle Antwort, habe es jetzt nochmal durchgerechnet, aber ich komme leider trotzdem nicht auf die Lösung... ich schreibe mal meinen Weg auf, vielleicht weisst du ja weiter.
Also die erste Ableitung war ja soweit richtig:
[mm] r_{x} [/mm] (x,y)= [mm] x*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ich mache nun mit der Produktregel weiter:
[mm] r_{xx}(x,y) [/mm] = [mm] 1*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}+x*(-\bruch{1}{2})*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}*2x
[/mm]
[mm] r_{xx}(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}-x^{2}*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
> danke für die schnelle Antwort, habe es jetzt nochmal
> durchgerechnet, aber ich komme leider trotzdem nicht auf
> die Lösung... ich schreibe mal meinen Weg auf, vielleicht
> weisst du ja weiter.
>
> Also die erste Ableitung war ja soweit richtig:
>
> [mm]r_{x}[/mm] (x,y)= [mm]x*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Ich mache nun mit der Produktregel weiter:
>
> [mm]r_{xx}(x,y)[/mm] =
> [mm]1*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}+x*(-\bruch{1}{2})*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}*2x[/mm]
>
> [mm]r_{xx}(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{1}{2}}-x^{2}*(x^{2}+y^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
Ja, alles chic, nun zusammenfassen.
Du musst den ersten Summanden, also [mm](x^2+y^2)^{-1/2}[/mm] auf den Exponenten [mm]-3/2[/mm] bringen.
Multipliziere also [mm](x^2+y^2)^{-1/2}[/mm] mit [mm]\underbrace{\frac{(x^2+y^2)^1}{(x^2+y^2)^1}}_{=1}[/mm]
Das gibt: [mm](x^2+y^2)^{-1/2}=(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot{}\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{-3/2}\cdot{}(x^2+y^2)[/mm]
Das verarzte nun mit dem hinteren Summanden ...
Gruß
schachuzipus
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