Primzahlen Beweis < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 So 20.11.2011 | | Autor: | meeri |
| Aufgabe | | Finden Sie alle Primzahlen p derart, dass auch [mm] 8p^2 [/mm] +1 eine Primzahl ist. Begründen sie Ahre Antwort. Hinweis: Betrachten sie die möglichen Reste von p bei der Division durch 3. |
Hallo :)
also ich hab zunächst eine liste aufgestellt mit den primzahlen von 1 bis 31 und die möglichen reste bei der division betrachtet. ;) die reste betragen immer 1 oder 2 (außer bei den primzahlen 2 und 3). soweit sogut. dann habe ich für p verschiedene primzahlen eingesetzt und feststellen müssen, dass die aussage nicht stimmt. so zum beispiel bei p=3. denn: [mm] 8x3^2= [/mm] 73. und 73 ist keine primzahl. ich seh im moment keine verbindung zwischen den möglichen resten bei der division und der aufgabe an sich... was soll ich tun? womit soll ich anfangen? :/
Danke schonmal im vorraus ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Moin,
![[willkommenmr]](http://m7.teximg.de/static/images/smileys/willkommenmr.gif "[willkommenmr]") !
> Finden Sie alle Primzahlen p derart, dass auch [mm]8p^2[/mm] +1 eine
> Primzahl ist. Begründen sie Ahre Antwort. Hinweis:
> Betrachten sie die möglichen Reste von p bei der Division durch 3.
Erster Fall [mm] p\equiv [/mm] 1 mod 3 (diese Schreibweise bedeutet, dass p Rest 1 bei Division durch 3 lässt).
Dann folgt [mm] 8p^2+1\equiv 8(1)^2+1\equiv 9\equiv0 [/mm] mod 3. [mm] 8p^2+1 [/mm] ist also durch 3 teilbar.
Zweiter Fall [mm] p\equiv [/mm] 2 mod 3. Wie oben folgt, dass [mm] 8p^2+1 [/mm] durch 3 teilbar ist.
Also kann [mm] 8p^2+1 [/mm] nur dann Primzahl sein, wenn p durch 3 teilbar ist, also wenn p=3 gilt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 So 20.11.2011 | | Autor: | meeri |
danke für die superschnelle antwort!!!
(es tut mir leid! ich glaub ich hab das ausversehen 2 mal gepostet -.-)
ich muss das jetzt erst noch ein paar mal lesen, bis ich das ganz verstanden hab^^ aber eine kurze frage hab ich noch:
da wir den ausdruck mod noch nicht in der vorlesung hatten, würde mich interessieren, ob ich das irgendwie ohne den ausdruck aufschreiben kann...?
danke :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> da wir den ausdruck mod noch nicht in der vorlesung hatten,
> würde mich interessieren, ob ich das irgendwie ohne den
> ausdruck aufschreiben kann...?
Ja, das geht.
Schreibe p=3k+1 bzw. p=3k+2 mit [mm] k\in\IN, [/mm] falls p Rest 1 bzw. 2 bei Division durch 3 lässt. Dann kannst du dies in [mm] 8p^2+1 [/mm] einsetzen und 3 ausklammern.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 So 20.11.2011 | | Autor: | meeri |
ah okay, verstanden! Vielen, vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mi 23.11.2011 | | Autor: | meeri |
> Ja, das geht.
> Schreibe p=3k+1 bzw. p=3k+2 mit [mm]k\in\IN,[/mm] falls p Rest 1
> bzw. 2 bei Division durch 3 lässt. Dann kannst du dies in
> [mm]8p^2+1[/mm] einsetzen und 3 ausklammern.
Kurze Frage: Muss ich zunächst 3k+1 oder nur den Rest 1 für p einsetzen?
ich hab das mal so angefangen:
[mm] 8*(3k+1)^2+1
[/mm]
= 8*(9k+6k+1) +1
= 8*9k+8*6k+8*1+1
= 72k+48k+8+1 |:3
= 24k+16k+3
= 40k+3
Und was wie wo jetzt?
Ist bestimmt voll einfach.. :D Versteh ich aber grad nicht..
Wer hilft mir?
Danke! :P
|
|
|
| |
|
> > Ja, das geht.
> > Schreibe p=3k+1 bzw. p=3k+2 mit [mm]k\in\IN,[/mm] falls p Rest 1
> > bzw. 2 bei Division durch 3 lässt. Dann kannst du dies in
> > [mm]8p^2+1[/mm] einsetzen und 3 ausklammern.
>
> Kurze Frage: Muss ich zunächst 3k+1 oder nur den Rest 1
> für p einsetzen?
Die Restklassenrechnung besagt, dass dies egal ist. Da ihr diese aber noch nicht hattet, setze lieber 3k+1 ein.
>
> ich hab das mal so angefangen:
>
> [mm]8*(3k+1)^2+1[/mm]
> = 8*(9k+6k+1) +1
> = 8*9k+8*6k+8*1+1
> = 72k+48k+8+1 |:3
Dann gilt aber keine Gleichheit  .
Richtig wäre
=3(72k+48k+8+124k+16k+3 ).
So hättest du 3 ausgeklammert und damit Teilbarkeit durch 3 gezeigt.
> = 24k+16k+3
> = 40k+3
EDIT: Copy&Paste Fehler
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Do 24.11.2011 | | Autor: | meeri |
danke! nur so ganz hab ichs immernoch nicht.. :/ wie komm ich denn jetzt von hier
> > [mm]8*(3k+1)^2+1[/mm]
nach
> =3(72k+48k+8+1 )?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Do 24.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke! nur so ganz hab ichs immernoch nicht.. :/ wie komm
> ich denn jetzt von hier
>
> > > [mm]8*(3k+1)^2+1[/mm]
>
> nach
>
> > =3(72k+48k+8+1 )?
Gar nicht.
Von $8 [mm] (3k+1)^2 [/mm] + 1$ kommst du erstmal auf $72 [mm] k^2 [/mm] + 48 k + 8 + 1$ (beachte das Quadrat; das hattest du in deiner Rechnung weiter oben nicht!). Das vereinfachst du jetzt noch ein bisschen, und schreibst es dann in der Form $3 [mm] \cdot [/mm] (... [mm] k^2 [/mm] + ... k + ...)$. Und die "..." sollten ganze Zahlen sein.
Das solltest du aber hinbekommen...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Do 24.11.2011 | | Autor: | meeri |
Aaah. :) jetzt hab ichs- war ja doch ganz einfach :D danke! :))
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:52 So 20.11.2011 | | Autor: | meeri |
also zum beispiel so:
1. Fall: p/3= a* 3 +1
...
2. Fall: p/3= a*3 +2
...
oder ist das falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 So 20.11.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Zusatz:
73 ist Primzahl. Es ist [mm] 3^2*8=72.
[/mm]
LG
|
|
|
|
