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Forum "Algebraische Geometrie" - Stufenwinkel und Wechselwinkel
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Stufenwinkel und Wechselwinkel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:32 So 12.11.2017
Autor: monki

Aufgabe 1
In dem Viereck ABCD seien gegenüberliegende Seiten jeweils gleich lang, also [mm] |\overline{AB}| [/mm] = [mm] |\overline{CD}| [/mm] und [mm] |\overline{BC}| [/mm] = [mm] |\overline{AD}|. [/mm]

a) Beweisen Sie, dass im Viereck ABCD die Innenwinkel CBA und ADC gleich groß sind.

Aufgabe 2
b) Beweisen Sie, dass der Winkel |BAD| + |CBA| = 180* ist.

Aufgabe 3
c) E sei ein Punkt auf [BC, so dass C zwischen B und E liegt. Zeigen Sie, dass die Winkel |ECD|=|CBA| ist.

Aufgabe 4
d) Beweisen Sie, dass AB || CD ist.

Ich stehe komplett auf dem Schlauch und komme nicht weiter. Mir sind die Zusammenhänge beim Dreieck klar, jedoch weiß ich nicht, wie ich diese nun beim Viereck anwende.

        
Bezug
Stufenwinkel und Wechselwinkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 12.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> In dem Viereck ABCD seien gegenüberliegende Seiten jeweils
> gleich lang, also [mm]|\overline{AB}|[/mm] = [mm]|\overline{CD}|[/mm] und
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] = [mm]|\overline{AD}|.[/mm]

>

> a) Beweisen Sie, dass im Viereck ABCD die Innenwinkel CBA
> und ADC gleich groß sind.
> b) Beweisen Sie, dass der Winkel |BAD| + |CBA| = 180*
> ist.
> c) E sei ein Punkt auf [BC, so dass C zwischen B und E
> liegt. Zeigen Sie, dass die Winkel |ECD|=|CBA| ist.
> d) Beweisen Sie, dass AB || CD ist.
> Ich stehe komplett auf dem Schlauch und komme nicht
> weiter. Mir sind die Zusammenhänge beim Dreieck klar,
> jedoch weiß ich nicht, wie ich diese nun beim Viereck
> anwende.

Indem du das Viereck jeweils geschickt in Dreiecke aufteilst. Es sollte klar sein, dass das beschriebene Viereck ein Parallelogramm ist. Mache dir zunächst klar, dass ein Parallelogramm durch seine Diagonalen jeweils in zwei kongruente Dreieck aufgeteilt wird. Damit kommst du bei dieser Aufgabe schon ziemlich weit.

Für Teilaufgabe a) lege die Diagonale AC durch das Dreieck. Mit dem Kongruenzsatz SSS folgt jetzt sofort, dass die beiden entstandenen Dreiecke kongruent sind und daraus die Gleichheit der Winkel CBA und ADC.

Die Aufgaben b) und d) gehen mit ähnlichen Argumentationen, für Teilaufgabe c) argumentiere mit Stufenwinkeln.


Gruß, Diophant

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Stufenwinkel und Wechselwinkel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Di 14.11.2017
Autor: monki

Also bei der a) bin ich nach SSS gegangen, bei c) nach Stufenwinkelsatz und bei d)Wechselwinkelsatz. Kann ich bei b) damit argumentieren, dass [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] benachbarte Winkel sind und diese 180 Grad ergeben müssen?

Bezug
                        
Bezug
Stufenwinkel und Wechselwinkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Di 14.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Also bei der a) bin ich nach SSS gegangen, bei c) nach
> Stufenwinkelsatz und bei d)Wechselwinkelsatz.

Das hört sich alles gut an.

> Kann ich bei
> b) damit argumentieren, dass [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] benachbarte
> Winkel sind und diese 180 Grad ergeben müssen?

Dazu müsste ja schon klar sein, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. Das ist ja aber erst in d) zu beweisen, also sollte man diese Tatsache hier nicht verwenden, obwohl sie natürlich offensichtlich ist.

Die Kongruenz der Dreiecke ACD u. ABC ergibt zusammen mit der Winkelsumme im Dreieck aber das Gewünschte.


Gruß, Diophant

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