Wert von S_{f}(0) < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Mo 06.02.2012 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm] c_{k} [/mm] der Fourier-Reihendarstellung [mm] S_{f}(t) [/mm] der 1-periodischen fortgesetzten Funktion f: [0,1) -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(t)=t^{2}.
[/mm]
b) Geben Sie an, für welche t [mm] \in \IR [/mm] die Gleichheit f(t) = [mm] S_{f}(t) [/mm] gilt.
c) Geben Sie den Wert [mm] S_{f}(0) [/mm] an und begründen Sie diesen kurz. |
Die Teilaufgabe a) habe ich gemacht.
[mm] c_{0}=\frac{1}{3}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}-\frac{i}{2\pi n}
[/mm]
Damit erhalte ich [mm] S_{f}(t) [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}-\frac{i}{2\pi n}) e^{-in2\pit}
[/mm]
Frage zu b)
Jetzt muss ich angeben für welche t [mm] \in \IR [/mm] die Gleichheit [mm] f(t)=S_{f}(t) [/mm] gilt.
Die Funktion f hat den Definitionsbereich [0,1). Die FT hat den selben Def.Bereich.
Die 1 liegt also nicht im Def-Bereich.
Die Gleichheit sollte also nur für die Null gelten oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Di 07.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Bestimmen Sie die Koeffizienten [mm]c_{k}[/mm] der
> Fourier-Reihendarstellung [mm]S_{f}(t)[/mm] der 1-periodischen
> fortgesetzten Funktion f: [0,1) -> [mm]\IR[/mm] mit [mm]f(t)=t^{2}.[/mm]
> b) Geben Sie an, für welche t [mm]\in \IR[/mm] die Gleichheit f(t)
> = [mm]S_{f}(t)[/mm] gilt.
> c) Geben Sie den Wert [mm]S_{f}(0)[/mm] an und begründen Sie
> diesen kurz.
> Die Teilaufgabe a) habe ich gemacht.
>
> [mm]c_{0}=\frac{1}{3}[/mm]
> [mm]c_{n}[/mm] = [mm]\frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}-\frac{i}{2\pi n}[/mm]
>
> Damit erhalte ich [mm]S_{f}(t)[/mm] = [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{2\pi^{2}n^{2}}-\frac{i}{2\pi n}) e^{-in2\pit}[/mm]
Das kann nicht sein, denn rechts kommt überhaupt kein t vor.
>
> Frage zu b)
> Jetzt muss ich angeben für welche t [mm]\in \IR[/mm] die
> Gleichheit [mm]f(t)=S_{f}(t)[/mm] gilt.
Ja
> Die Funktion f hat den Definitionsbereich [0,1).
Nein. Oben steht doch was von 1-periodischer Fprtsetzung von f. f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] def. !
> Die FT
> hat den selben Def.Bereich.
Unsinn
> Die 1 liegt also nicht im Def-Bereich.
> Die Gleichheit sollte also nur für die Null gelten oder?
Oh Mann (Frau ?). Für die punktweise konvergenz einer Fourierreihe hattet Ihr sicher Sätze
Zum Beispiel gilt bei obigem f:
[mm] S_f(t)= \bruch{\limes_{s \rightarrow t+0 }f(s)+ \limes_{s \rightarrow t-0 }f(s) }{2} [/mm] für jedes t [mm] \in \IR
[/mm]
Für t [mm] \in \IZ [/mm] ist also [mm] S_f(t)=1/2 [/mm] und für t [mm] \notin \IZ [/mm] ist [mm] S_f(t)=f(t)
[/mm]
FRED
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:00 Mi 08.02.2012 | | Autor: | zoj |
a) Bestimmen Sie die Koeffizienten $ [mm] c_{k} [/mm] $ der Fourier-Reihendarstellung $ [mm] S_{f}(t) [/mm] $ der 1-periodischen fortgesetzten Funktion f: [0,1) -> $ [mm] \IR [/mm] $ mit $ [mm] f(t)=t^{2}. [/mm] $
b) Geben Sie an, für welche t $ [mm] \in \IR [/mm] $ die Gleichheit f(t) = $ [mm] S_{f}(t) [/mm] $ gilt.
c) Geben Sie den Wert $ [mm] S_{f}(0) [/mm] $ an und begründen Sie diesen kurz.
nochmal zu a)
Das [mm] c_{n} [/mm] habe ich auf diese Weise bestimmt:
T=1 => w = [mm] 2\pi
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] = 1 [mm] \int_{0}^{1} t^{2} e^{-in2\pi t}
[/mm]
Das ausgerechnet ergibt laut Musterlösung:
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2 \pi^{2} n^{2}} [/mm] + [mm] \frac{1}{2\pi n}i
[/mm]
Bitte erklärt mir was man mit "1-periodischen fortgesetzten Funktion f: [0,1) -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(t)=t^{2}." [/mm] meint.
Ist es das ausgeschnittene Stück der Funktion [mm] f(t)=t^{2} [/mm] im Bereich [0,1) -> [mm] \IR [/mm] ? Ist es dann so eine Art "Sägezahn"?
Zu b)
b) Geben Sie an, für welche t [mm] \in \IR [/mm] die Gleichheit f(t) = [mm] S_{f}(t) [/mm] gilt.
[mm] c_{n} [/mm] habe ich berechnet daraus folgt die Fourierreihe:
[mm] S_{f}(t) [/mm] = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} [/mm] ( [mm] \frac{1}{2 \pi^{2} n^{2}} [/mm] + [mm] \frac{1}{2\pi n}i [/mm] ) [mm] e^{-i n 2 w t}
[/mm]
Hier nochmal f: [0,1) -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(t)=t^{2}
[/mm]
Frage: Wie prüfe ich auf Gleichheit?
Wenn ich eine Funktion in eine Forierreihe transformiere, bleibt es dann nicht die selbe Funktion, nur halt als cos und sin als Basis?
Wenn ich jetzt die "Funktions-Stücke" (a) an einander reihe, habe ich Unstetigkeiten bei 1 , 2 ... [mm] \IZ. [/mm] Dazwischen muss aber die Funktion f und [mm] S_{f} [/mm] stetig sein oder?
Also gilt dann auch in diesen Bereichen die Gleichheit oder?
Bitte beantwortet die Fragen, das ist mir echt Wichtig die Sache zu verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 10.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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