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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:49 Di 26.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo! Könnt ihr mir bitte helfen dieses Bsp zu verstehen?
G sei die symmentrische Gruppe [mm] S_3 [/mm] mit G = [mm] \{1,x,x^2,y,xy,x^2y\}. [/mm] Das Element xy hat die Ordnung 2 und erzeugt also eine zyklische Untergruppe [mm] H=\{1,xy\} [/mm] der Ordnung 2. Die Linksnebenklassen von H in G sind die drei Mengen:
[mm] \{1,xy\}=H=xyH, \{x,x^2y\}=xH=x^2yH, \{x^2,y\}=x^2H=yH.
[/mm]
Die Ordnung gibt doch die Anzahl der Elemente an, oder? Wie kann dann ein Element die Ordnung 2 haben?
und wie sieht man das, dass genau die oben genannten Mengen die Linksnebenklassen sind? weil eine Linksnebenklasse hat doch die Form [mm] aH=\{aH|h\inH\}. [/mm] warum sind immer nur 2 Elemente in der Menge?
und z.B. bei [mm] \{1,xy\}=H=xyH [/mm] - warum gilt H=xyH ? ist xyH nicht gleich [mm] \{xy,x^2y^2\} [/mm] ??
sorry für so viele fragen...
viele grüße
riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Di 26.09.2006 | | Autor: | jbulling |
Hallo Riley,
ich kenn die allgemeine Begriffsdefinition für Ordnung aus der Algebra nicht genau genug, aber ich vermute mal, dass die aus der Zahlentheorie ähnlich ist.
In der Zahlentheorie spricht man davon, dass ein Element a in einer zyklischen Gruppe modulo einer Primzahl p eine Ordnung x besitzt. wenn
[mm] $a^x \equiv [/mm] 1 (mod [mm] \, [/mm] p)$
Z.B. hat durch 2 mod 7 erzeugte zyklische Gruppe die Ordnung 3. Die Gruppe besteht aus den Elementen [mm] $\{2, 4, 1\}=\{2^1, 2^2, 2^3\}$.
[/mm]
Ich denke in der gleichen Art und Weise ist in Deinem Fall die Ordnung des Elementes gemeint. Also im Prinzip die Ordnung der Untergruppe von G, die durch das Element generiert wird.
Wenn vorgegeben ist, dass [mm] $\{1,xy\}$ [/mm] eine zyklische Untergruppe ist, muss es ein Element geben, dessen Potenzen genau die Elemente dieser Menge ergeben. Wenn 1 das neutrale Element ist, dann kann es diese Gruppe nicht erzeugen. Also muss xy diese Gruppe erzeugen. Damit gilt [mm] (xy)^2 [/mm] muss ebenfalls in der Menge enthalten sein und damit, da ja xy nicht das neutrale Element sein kann, dass gilt [mm] (xy)^2=1.
[/mm]
Ich weiss leider nicht, was eine Linksnebenklasse ist, aber mit der Aussage, dass [mm] (xy)^2=1 [/mm] sein muss, kann man den Rest glaub schon herleiten.
Übrigens müsste in Deinem Beispiel wohl auch gelten [mm] x^3=1 [/mm] und [mm] y^2=1 [/mm] (zumindest ist sicher [mm] $x^3, y^2 \in [/mm] G$), aber das sollte man wohl dann doch besser beweisen :o)
Ups, sorry ich hab grad festgestellt, dass das mit [mm] x^3=1 [/mm] und [mm] y^2=1 [/mm] nicht stimmen kann. Denn sonst würde es zwei verschiedene Lösungen für [mm] (xy)^3 [/mm] geben und das kann natürlich nicht sein, sonst wäre ja die Multiplikation keine Verknüpfung auf G. Dass [mm] $x^3, y^2 \in [/mm] G$ gelten muss, stimmt ja aber wegen der Gruppenaxiome trotzdem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 01.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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