www.matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

For pupils, students, teachers.
Hello Guest! [ Log In | Register ]
Home · Forum · Knowledge · Courses · Members · Team · Contact
Navigation
 Home...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Introduction
   
   Index of all articles
   
   Help / Documentation
   Guidelines
   Formatting
 vorkurse...
 Tools...
 Agency for private tuition beta...
 Online Games beta
 Search
 Registered Society...
 Contact
Forenbaum
^ Tree of Forums
Status Maths
  Status School
    Status Grades 1-4
    Status Grades 5-7
    Status Grades 8-10
    Status Grades 11-12
    Status Mathematical Contest
    Status School maths - Miscellaneous
  Status University
    Status Uni-Calculus
    Status Uni-LinA u. Algebra
    Status Algebra and Number Theoriy
    Status Discrete Mathematics
    Status Teaching Methodology
    Status Financial Maths and Actuarial Theory
    Status Logic and Set Theory
    Status 
    Status Stochastic Theory
    Status Topology and Geometry
    Status Uni Maths - Miscellaneous
  Status Courses on maths
    Status 
    Status 
    Status Universität
  Status Software for maths
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Calculators

Only forums with an interest level bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
The project is organised by our team of coordinators.
Hundreds of members help out in our moderated forums.
Service provider for this webpage is the Registered Society "Vorhilfe.de e.V.".
Web Standards
Valid HTML 4.01!
Valid CSS!
Gegen Software-Patente
Get Firefox
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Ähnlichkeitstransformation
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Ähnlichkeitstransformation

Zustandsgrößen sind in einem n-dimensionalen Zustandsraum festgelegt. Eine Änderung der Größen bedeutet eine Änderung des Koordinatensystems. Dieses muss angepasst werden, damit der neue und alte Zustand konform bleiben.

Eine entsprechende Koordinatentransformation ist also eine Anpassung des Koordinatensystems gemäß der Zustandsänderung. Die neu entstandene Dynamikmatrix ist der ursprünglichen ähnlich. Die Ähnlichkeit bezieht sich auf den n-dimensionalen Raum (er wird beibehalten).


Die Determinante ist invariant, so dass gilt:

$ |A|=|T^{-1}AT|=|TAT^{-1}| $

Hier ist T die Transformationsmatrix.

Des weiteren bleiben natürlich die Eigenwerte erhalten und es ist:

$ |s\underline{I}-\underline{A}|=|s\underline{I}-T^{-1}AT|=(-1)^{n}|T^{-1}AT-s\underline{I}| $

für eine n-reihige quadratische Matrix A.


Vor und nach der Transformation wird dasselbe System beschrieben.



Beispiel: Diagonalisierung


gegeben sei eine Matrix $ A:=\pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 3 } $


Für den Eigenvektor wird $ det(\lambda\ I\ -\ \underline{A}) $ ermittelt:

$ |\lambda\ I\ -\ \underline{A}|=\vmat{ \lambda-2 & 0 \\ -1 & \lambda-3 }=(\lambda-2)\cdot{}(\lambda-3) $

Die Eigenwerte lauten somit:  $ \lambda_1=3\quad \wedge\quad \lambda_2=2 $



1. Eigenvektor

$ (\lambda_1\ I\ -\ \underline{A})\cdot{}\vec{v}_{1}=\pmat{ 1 & 0 \\ -1 & 0 }\cdot{}\pmat{ v_{11} \\ v_{12} }=\pmat{ 0 \\ 0 }\quad \Rightarrow\quad v_{11}=0\ \wedge\ -v_{12}=0\quad \Rightarrow\quad \vec{v}_{11,12}=\pmat{ 0 \\ 1} $



2. Eigenvektor

$ (\lambda_2\ I\ -\ \underline{A})\cdot{}\vec{v}_2=\pmat{ 0 & 0 \\ -1 & -1 }\cdot{}\pmat{ v_{21} \\ v_{22} }=\pmat{ 0 \\ 0 }\quad \Rightarrow\quad v_{21}=-v_{22}\quad \Rightarrow\quad \vec{v}_{21,22}=\pmat{ 1 \\ -1} $



$ \underline{V}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -1 }\quad \quad \underline{V}^{-1}=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } $


$ \underline{A}_v:=\underline{V}^{-1}\ \underline{A}\ \underline{V}=\pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 2 } $


Diese Matrix $ \underline{A}_v $ ist der obigen Matrix $ \underline{A} $ ähnlich.




zur Übersicht Regelungstechnik

Erstellt: Mo 19.03.2007 von Herby
Letzte Änderung: Do 11.02.2010 um 21:34 von Herby
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
Alle Foren
Status 17m ago 2. angela.h.b.
ULinASon/Basen
Status 39m ago 4. angela.h.b.
S8-10/Ableitungsfunktion ermitteln
Status 4h 31m ago 5. yangwar1
UAnaRn/Multiindex
Status 5h 25m ago 6. meili
LinAMoVR/Normen
Status 5h 33m ago 13. M.Rex
SExpLog/Umkehrfunktion
^ Seitenanfang ^
www.mathspace.org
[ Home | Forum | Knowledge | Courses | Members | Team | Contact ]