Abbildung

Definition Abbildung

Es seien X und Y zwei beliebige Mengen.
Eine eindeutige Zuordnung der Elemente aus X zu den Elementen aus Y heißt Abbildung.

Bemerkungen

Die Menge X heißt Definitionsbereich und Y Wertebereich.
Eine Funktion ist eine spezielle Abbildung mit dem Wertebereich oder .

X und Y seien Mengen, eine Relation
Ist F linksvollständig und rechtseindeutig, dann nennt man das Tripel eine Abbildung.

Definition aus dem Meyberg:

seien Mengen. Ein Tripel heißt eine Abbildung von in (oder eine Funktion auf mit Werten in ), wenn gilt:

()
() Zu jedem gibt es genau ein mit .

heißt der Graph, die Quelle oder der Definitionsbereich, das Ziel oder der Wertevorrat von .

Das durch eindeutig bestimmte Element mit wird meist mit bezeichnet. Also

.

Folgende Schreibweisen für eine Abbildung werden verwendet:

oder ,

wenn man über nichts Näheres zu wissen braucht, andernfalls fügt man hinzu

oder (lies: " bildet auf ab").

Bemerkung:

Die "klassische" Definition einer Abbildung, etwa so "Eine Abbildung von nach ist eine Vorschrift, die jedem Element eindeutig ein Element aus zuordnet", ist natürlich in obiger Definition verarbeitet. Da aber ein Tripel ein besseres mathematisches Objekt ist als eine Vorschrift, zieht man heute die erste Definition vor. Die Vorschrift allerdings bleibt doch in konkreten Fällen erhalten, nämlich in der Beschreibung von . Auch wir werden sehr oft zu prüfen haben, ob eine durch eine gewisse Vorschrift definierte Teilmenge auch wirklich eine Abildung definiert, Dazu muss man prüfen, ob jedes Element von auch als erste Komponente eines Elementes aus vorkommt (das ist meist trivial zu sehen) und, was wichtiger ist, dass und nur für möglich ist. In anderer Schreibweise sieht das so aus:

.

Abbildungen und sind genau dann gleich, wenn , und gilt; d.h. wenn Quelle, Ziel und Graph übereinstimmen. Insbesondere

(Für alle gilt: )

für alle .

D.h. Abbildungen und sind genau dann gleich, wenn , und für alle gilt.

Ist eine Abbildung und , dann ist offensichtlich ebenfalls eine Abbildung. Ist injektiv, so auch . Hingegen ist im Falle niemals surjektiv, auch wenn surjektiv ist. Dennoch möchte man zwischen und keinen wesentlichen Unterschied machen. Man nennt Abbildungen und im wesentlichen gleich, wenn und gilt, d.h. und für alle . Wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind, schreibt man auch hierfür .

Eine gegebene Abbildung kann man auf Teilmengen von beschränken. Sei , dann heißt

: , für alle ,

die Restriktion von auf . Es ist nur für .

Die Abbildung , , wird als Identität (auf ) bezeichnet. Wenn nötig, schreibt man hierfür auch .

Seien , Abbildungen und . Man definiert eine Teilmenge durch

und .

Dann ist eine Abbildung, da durch und durch eindeutig bestimmt sind, und somit durch eindeutig bestimmt ist. Diese Abbildung wird mit ( komponiert mit ) bezeichnet und heißt das Kompositum (oder Produkt) von und . In anderer Schreibweise sieht das so aus:

Für ist definiert durch

für alle .

Ist eine weitere Abbildung, dann gilt:

,

denn Quelle und Ziel sind gleich und für alle gilt:

.

Sei eine Abbildung und . Die Menge

heißt das -Bild von . Das -Bild von , , wird als bezeichnet. Für eine Teilmenge nennt man die Menge

das -Urbild von . Es gelten die folgenden Rechenregeln:

Quelle: isbn3446130799

Mögliche Eigenschaften spezieller Abbildungen

;additiv:
;alternierend (siehe Determinantenfunktion):
;biholomorph:
;bijektiv:
;bilinear:
;differenzierbar:
;epimorph:
;gleichmäßig stetig:
;holomorph:
;homomorph:
;idempotent: heißt idempotent für alle bzw. für alle
;identisch:
;injektiv:
;integrierbar:
;isomorph:
;komplexwertig:
;konstant:
;leer:
;linear:
;multilinear:
;offen:
;reellwertig:
;selbstähnlich:
;semilinear:
;sequilinear:
;stetig:
;stetig differenzierbar:
;surjektiv:
;symmetrisch:
;umkehrbar: