Normalenform

Definition Normalenform der Ebenengleichung

Gegeben sei die Ebene E durch .

Sei der Ortsvektor zu einem Punkt A der Ebene E,
und sei ein Vektor, der auf den Richtungsvektoren und der Ebene (und damit auf der ganzen Ebene) senkrecht steht, dieser Vektor wird Normalenvektor genannt.

Diesen Normalenvektor kann man mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren relativ schnell ermitteln, es gilt also:

Dann gilt:

oder ausführlich in Koordinatenschreibweise:

oder prägnanter:

Multipliziert man die Skalarprodukte aus, erhält man die Ebenengleichung in Koordinatenform:

mit

Hesse-Form der Ebenengleichung

Benutzt man zum Aufstellen der Normalenform der Ebenengleichung einen Normaleneinheitsvektor

so, dass in der Gleichung

der Ausdruck gilt, so heißt diese Normalenform Hesse-Form der Ebenengleichung.

Abstandsbetrachtung mit der Hesse-Form:

Setzt man den Ortsvektor eines Punktes P für in die Hesse-Form ein, so erhält man die Maßzahl d des Abstands |d| des Punktes P von der Ebene:

d>0: P und der Ursprung O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene E.
d=0: P liegt auf der Ebene E.
d<0: P und O liegen auf derselben Seite der Ebene E.

Achsenabschnittsform der Ebenengleichung

Sie wird entwickelt aus der Normalenform , indem man auf die andere Seite der Gleichung holt und anschließend durch teilt:

Die Kehrbrüche der Koeffizienten ergeben dann die Spurpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen:

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