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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Ansatz v.Typ der rechten Seite
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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Rückfrage,Idee,Tipp,Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mi 04.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

ich habe eine Frage zur nachfolgenden Aufgabe:

[mm] y''(x)-5y(x)+4y(x)=8x^{2}-20x+24 [/mm]

Die Lösung der zugeh. homogenen Gleichung habe ich bereits mit [mm] c_{1}e^{4x}+c_{2}e^{x} [/mm] bestimmt.

Nun muss ich ja noch die zugeh. spezielle Gleichung bestimmten, was ich hier mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite machen möchte.

b(x) = [mm] x^{2}-20x+24 [/mm]
[mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ax^{2}+Bx+C [/mm]

An dieser Stelle frage ich mich nun, ob es hier dann nicht [mm] Ax^{2}-Bx+C [/mm] heißen muss, oder halte ich mich da strikt an die Tabelle ?

Vielen Dank



        
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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mi 04.07.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> ich habe eine Frage zur nachfolgenden Aufgabe:

>

> [mm]y''(x)-5y(x)+4y(x)=8x^{2}-20x+24[/mm]

>

> Die Lösung der zugeh. homogenen Gleichung habe ich bereits
> mit [mm]c_{1}e^{4x}+c_{2}e^{x}[/mm] bestimmt.

>

> Nun muss ich ja noch die zugeh. spezielle Gleichung
> bestimmten, was ich hier mit dem Ansatz vom Typ der rechten
> Seite machen möchte.

>

> b(x) = [mm]x^{2}-20x+24[/mm]
> [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ax^{2}+Bx+C[/mm]

>

> An dieser Stelle frage ich mich nun, ob es hier dann nicht
> [mm]Ax^{2}-Bx+C[/mm] heißen muss, oder halte ich mich da strikt an
> die Tabelle ?

Das ist im Prinzip völlig gleich, denn es zählt ja nur, was am Ende herauskommt. Nur hält man auch in der Mathematik für gewöhnlich die üblichen Konventionen ein (um keine unnötige Verwirrung zu stiften).


Gruß, Diophant

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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:12 Do 05.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zur nachfolgenden Aufgabe:
>  
> [mm]y''(x)-5y(x)+4y(x)=8x^{2}-20x+24[/mm]
>  
> Die Lösung der zugeh. homogenen Gleichung habe ich bereits
> mit [mm]c_{1}e^{4x}+c_{2}e^{x}[/mm] bestimmt.
>  
> Nun muss ich ja noch die zugeh. spezielle Gleichung
> bestimmten, was ich hier mit dem Ansatz vom Typ der rechten
> Seite machen möchte.
>  
> b(x) = [mm]x^{2}-20x+24[/mm]
>  [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ax^{2}+Bx+C[/mm]
>  
> An dieser Stelle frage ich mich nun, ob es hier dann nicht
> [mm]Ax^{2}-Bx+C[/mm] heißen muss, oder halte ich mich da strikt an
> die Tabelle ?
>  
> Vielen Dank
>  
>  

Machen wir den Ansatz [mm] y_s(x)=Ax^2+Bx+C, [/mm] so bekommen wir (ich jedenfalls):

A=2, B=10 und [mm] C=\frac{15}{2}. [/mm]

Machen wir den Ansatz [mm] y_s(x)=Ax^2-Bx+C, [/mm] so bekommen wir :

A=2, B=-10 und [mm] C=\frac{15}{2}. [/mm]

Merkst Du was ?


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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:26 Do 05.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antworten!

Das bedeutet, dass bei beiden gezeigten "Lösungswegen" ja aufgrund der veränderten/angepassten Vorzeichenkonvention wiederum das Gleiche herauskommt und es somit, wie Diophant bereits beschrieben hat, eigentlich egal ist welchen Weg man geht.

Vielen Dank für die schnelle Hilfe

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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Do 05.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

mir ist nich eine weitere Sache aufgefallen, die mir nicht ganz klar ist.

Wenn ich ein b(x) = [mm] x^{2}-20x+24 [/mm] habe, so ist die zugeh. spezielle Gleichung [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ax^{2}-Bx+C. [/mm]

Was aber passiert mit der zugeh. spezielle Gleichung, wenn ich z.B. ein b(x) = [mm] x^{2}+24 [/mm] oder b(x) = [mm] x^{2}-20x [/mm] habe?

Schaue ich mir dann einfach nur an, welche Elemente ich habe (hier dann: [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ax^{2}+C [/mm] und [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ax^{2}-Bx) [/mm] oder muss ich hier anders vorgehen?

Vielen Dank für die Hilfe

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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Do 05.07.2018
Autor: fred97

Regel: ist [mm] b(x)=a_mx^m+...+a_1x+a_0 [/mm] ein Polynom vom Grade m, also [mm] a_m \ne [/mm] 0, so unterscheide 2 Fälle:

Fall 1: 0 ist keine Nullstelle des char. Polynoms der homogenen Gleichung, so mache für [mm] y_s [/mm] den Ansatz

[mm] y_s(x)=b_mx^m+...+b_1x+b_0 [/mm] .

Fall 2: 0 ist [mm] \nu [/mm] - fache Nullstelle des char. Polynoms der homogenen Gleichung, so mache für [mm] y_s [/mm] den Ansatz

[mm] y_s(x)=x^{\nu}(b_mx^m+...+b_1x+b_0) [/mm] .





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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Fr 06.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo Fred,

danke für die Antwort!

Das bedeutet für mich dann folgendes:

Solange ich keine 0 als Nullstelle bei der zugehörigen homogenen Lösung habe, schaue ich mir die höchste Potenz an und "zähle" dann runter; [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ax^{2}+Bx+C [/mm]

Sobald aber eine 0 als Nullstelle bei der zugehörigen homogenen Lösung auftaucht muss ich anders verfahren, was ich noch nicht so ganz überblicken kann - hast du hier für mich vielleicht noch ein konkretes/anschauliches Beispiel?

Vielen Dank

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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Fr 06.07.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Das bedeutet für mich dann folgendes:

>

> Solange ich keine 0 als Nullstelle bei der zugehörigen
> homogenen Lösung habe,

falsch formuliert: solange 0 keine Lösung des charakteristischen Polynoms ist...

> schaue ich mir die höchste Potenz
> an und "zähle" dann runter; [mm]y_{s}(x)[/mm] = [mm]Ax^{2}+Bx+C[/mm]

>

Auch das ist sehr unglücklich formuliert. Für diesen Fall setzt man mit einem Polynom von gleicher Ordnung wie die Störfunktion an.

> Sobald aber eine 0 als Nullstelle bei der zugehörigen
> homogenen Lösung auftaucht muss ich anders verfahren, was
> ich noch nicht so ganz überblicken kann - hast du hier
> für mich vielleicht noch ein konkretes/anschauliches
> Beispiel?

Es kommt nicht nur auf die Tatsache an, dass Null eine Lösung des CP ist, sondern auf die algebraische Vielfachheit dieser Lösung (das hat Fred ja schon in seinem 'Fall 2' berücksichtigt).

Nehmen wir

[mm]y'''-y'=x^2+2x+3[/mm]

Das zugehörige charakteristische Polynom lässt sich leicht faktorisieren, um die drei einfachen Lösungen abzulesen:

[mm] \lambda^3- \lambda= \lambda*\left ( \lambda^2-1 \right )= \lambda*\left ( \lambda-1 \right )*\left ( \lambda+1 \right )=0[/mm]

Das Polynom besitzt also die einfachen Nullstellen [mm] \lambda_1=0, \lambda_2=1 [/mm] und [mm] \lambda_3=-1. [/mm] Insbesondere ist die Null einfache Nullstelle. Also lautet der Ansatz für die spezielle Lösung

[mm]y_s=x*(Ax^2+Bx+C)=Ax^3+Bx^2+Cx[/mm]

Jetzt betrachten wir die DGL

[mm]y^{(iv)}-y''=x^2+2x+3[/mm]

Hier sieht die Berechnung der Nullstellen des CP so aus:

[mm] \lambda^4- \lambda^2= \lambda^2*( \lambda-1)*( \lambda+1)=0[/mm]

Hier gilt also

[mm] \lambda_{1,2}=0[/mm]

d.h., Null ist doppelte Nullstelle des CP. Dementsprechend lautet der Ansatz für die spezielle Lösung:

[mm]y_s=x^2*(Ax^2+Bx+C)=Ax^4+Bx^3+Cx^2[/mm]


Gruß, Diophant

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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Mo 09.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

vielen Dank für die Antwort und das ausführliche Beispiel!

Ein Frage habe ich allerdings noch:

Gilt diese Regel nur für die "0" als Nullstelle, oder muss kommt sie auch zur Anwendung, wenn ich z.B. eine "2" als doppelte Nullstelle habe?

Vielen Dank



Bezug
                                                
Bezug
Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:00 Mo 09.07.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Ein Frage habe ich allerdings noch:

>

> Gilt diese Regel nur für die "0" als Nullstelle, oder muss
> kommt sie auch zur Anwendung, wenn ich z.B. eine "2" als
> doppelte Nullstelle habe?

Nur für die Null.

Und ganz ehrlich: das wurde hier

a) schon mehrfach gesagt und ist
b) jeder vernünftigen Literatur zu diesem Thema zu entnehmen.

Ganz offensichtlich hast du nach wie vor eine falsche Lernstrategie. Bitte verstehe das nicht als Angriff sondern als konstruktive Kritik (so ist es jedenfalls gedacht).


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Mo 09.07.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Antwort und das ausführliche
> Beispiel!
>  
> Ein Frage habe ich allerdings noch:
>  
> Gilt diese Regel nur für die "0" als Nullstelle, oder muss
> kommt sie auch zur Anwendung, wenn ich z.B. eine "2" als
> doppelte Nullstelle habe?

langsam frage ich mich , was Ihr eigentlich in Euren Vorlesungen lernt ? Oder bist Du Autodidakt ?

Lies Dir mal die 2. Seite von

http://www-hm.ma.tum.de/ss06/bv2/aufgaben/Zusatzblatt1_LinDGL_KonstKoeff.pdf

durch. Dann dürften keine Fragen mehr offen sein.

>  
> Vielen Dank
>  
>  


Bezug
                                                        
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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Mo 09.07.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
                                                        
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Ansatz v.Typ der rechten Seite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Di 10.07.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

nun ist doch noch eine Frage aufgekommen:

Ich habe ein

b(x) = [mm] e^t+t [/mm]

laut Musterlösung gilt dann:

[mm] y_s(x) [/mm] = [mm] Ae^t+B+Ct [/mm]

Der erste Teil [mm] (Ae^t+B) [/mm] ist soweit klar!

Ich verstehe aber nicht, wie sich das "+Ct" noch ergibt!?

Könnt ihr mir da noch einmal helfen?

Vielen Dank im Voraus

Bezug
                                                                
Bezug
Ansatz v.Typ der rechten Seite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Di 10.07.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> nun ist doch noch eine Frage aufgekommen:

>

> Ich habe ein

>

> b(x) = [mm]e^t+t[/mm]

>

> laut Musterlösung gilt dann:

>

> [mm]y_s(x)[/mm] = [mm]Ae^t+B+Ct[/mm]

>

> Der erste Teil [mm](Ae^t+B)[/mm] ist soweit klar!

Nein, der erste Teil besteht hier offensichtlich aus dem Term [mm] A*e^t. [/mm] Das [mm]B[/mm] gehört zum folgenden (linearen) Polynom.

>

> Ich verstehe aber nicht, wie sich das "+Ct" noch ergibt!?

>

> Könnt ihr mir da noch einmal helfen?

Wenn die Störfunktion eine Summe (ein Produkt) aus den unterschiedlichen Typen der Tabelle ist, dann ist als Ansatz ebenfalls eine entsprechende Summe (ein Produkt) zu wählen.

Da du die homogene DGL nicht mit angegeben hast, kann man hier nur folgendes raten: das charakteristische Polynom besitzt weder bei 0 noch bei 1 eine Nullstelle. Aus diesem Grund geht sowohl die e-Funktion als auch das Polynom vom Typ her unverändert in den Ansatz ein, und somit ist [mm]B+C*t[/mm] der Teil, der dem Summanden t der Störfunktion geschuldet ist.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                        
Bezug
Ansatz v.Typ der rechten Seite: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Mi 11.07.2018
Autor: Dom_89

Danke für die Antwort

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