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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Beweis zu Eigenwerten
Beweis zu Eigenwerten < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis zu Eigenwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
Es geht um eine Frage zu einem Beweis im Skript, dass ich []verlinkt habe. Dort wird auf Seite 93 ein Beweis des Satzes 7.9 gezeigt, der bei iii) => i) für mich etwas unverständlich ist und zwar frage ich mich, wie man vom Produkt der Koordinatenmatrix mit w auf eine Aussage über die nachfolgende Differenzfunktion kommt. Ich wäre dankbar, wenn mir das kurz jemand erklären könnte.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis zu Eigenwerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Mi 09.05.2018
Autor: leduart

Hallo
ich sehe nicht, wo da ein Produkt mit der "koordinatenmatrix steht?
kannst du das genauer sagen?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Beweis zu Eigenwerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Mi 09.05.2018
Autor: Maxi1995

Lieber Leduart,
danke für deine Antwort. Anebi die Stelle:
Ist [mm] $\det(A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B})=0$, [/mm] so ist nach Korollar 6.18 der Kern der Multiplikation mit dieser Matrix [mm] $\neq$ [/mm] O. Also existiert ein [mm] $w\neq [/mm] 0$ in [mm] $K^{n}$ [/mm] mit [mm] $A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B}*w=0$, [/mm] woraus [mm] $(\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)(\kappa_{B}(w))=0$ [/mm] folgt. Somit ist auch Kern [mm] $(\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)\neq [/mm] 0. $
Nun meine Frage:
Wieso gilt: [mm] $$A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B}*w=0 \Rightarrow (\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)(\kappa_{B}(w))=0$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Beweis zu Eigenwerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:40 Do 10.05.2018
Autor: angela.h.b.


> Lieber Leduart,
> danke für deine Antwort. Anebi die Stelle:
> Ist [mm]\det(A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B})=0[/mm], so ist
> nach Korollar 6.18 der Kern der Multiplikation mit dieser
> Matrix [mm]\neq[/mm] O. Also existiert ein [mm]w\neq 0[/mm] in [mm]K^{n}[/mm] mit
> [mm]A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B}*w=0[/mm], woraus [mm](\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)(\kappa_{B}(w))=0[/mm]
> folgt. Somit ist auch Kern [mm](\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)\neq 0.[/mm]

>

> Nun meine Frage:
> Wieso gilt: [mm][mm]A_{\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f,B,B}*w=0 \Rightarrow (\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)(\kappa_{B}(w))=0[/mm]?[/mm]

Hallo,

es müßte heißen: [mm] ==>(\alpha \mathrm{i}\mathrm{d}-f)(\kappa_{B}^{-1}(w))=0 [/mm]

Wenn [mm] B=(b_1,...,b_b) [/mm] und [mm] w=\vektor{w_1\\\vdots\\w_n}, [/mm] dann ist [mm] \kappa_{B}^{-1}(w)=w_1b_1+...+w_nb_n. [/mm]

LG Angela
>

Bezug
                                
Bezug
Beweis zu Eigenwerten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:51 Mo 14.05.2018
Autor: Maxi1995

Hallo,
Ich würde es so machen zu sagen, dass v existiert, so dass w dessen Koordinatenvektor ist, also [mm] $w=\kappa_B(v)$. [/mm] Nach den Regeln für die Multiplikation von Koordinatenvektoren und Koordinatenmatrizen gilt, $ [mm] 0=\kappa_B((\alpha [/mm] id-f)(v))$, Was gerade das ist, was wir zeigen wollten, denn $ [mm] \kappa_B(w)^{-1}=v$. [/mm] Ich hoffe, ich habe mich nirgends vertan. Passt es so?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis zu Eigenwerten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 22.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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