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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema bestimmen
Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extrema bestimmen: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mo 18.06.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Berechne alle Extrema der Funktion f : [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch

f(x,y) = [mm] x^2-2xy+4y^3 [/mm]

Hallo,

hier einmal mein bisheriges Vorgehen:

[mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \pmat{ 2x-2y \\ -2x+12y^2} [/mm]

Hf(x,y) = [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 24y } [/mm]

Nun lautet die notwendige Bedingung fx(x,y) = 0 und fy(x,y)

I 2x-2y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = y
II [mm] -2x+12y^2 [/mm]
=> [mm] 12y^2-2y [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] y(12y-2)=0 [mm] \Rightarrow y_{1} [/mm] = 0 und [mm] y_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]

[mm] x_{1} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]

Somit ergeben sich doch dann zwei Mögliche Extremstellen (0|0) und [mm] (\bruch{1}{6}|\bruch{1}{6}) [/mm]

Wäre das bis hierher in Ordnung?

Vielen Dank für eure Hilfe :)

        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Berechne alle Extrema der Funktion f : [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> definiert durch

>

> f(x,y) = [mm]x^2-2xy+4y^3[/mm]
> Hallo,

>

> hier einmal mein bisheriges Vorgehen:

>

> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\pmat{ 2x-2y \\ -2x+12y^2}[/mm]

>

> Hf(x,y) = [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 24y }[/mm]

>

> Nun lautet die notwendige Bedingung fx(x,y) = 0 und
> fy(x,y)

>

> I 2x-2y=0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = y
> II [mm]-2x+12y^2[/mm]
> => [mm]12y^2-2y[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] y(12y-2)=0 [mm]\Rightarrow y_{1}[/mm] =
> 0 und [mm]y_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]

>

> [mm]x_{1}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]

>

> Somit ergeben sich doch dann zwei Mögliche Extremstellen
> (0|0) und [mm](\bruch{1}{6}|\bruch{1}{6})[/mm]

>

> Wäre das bis hierher in Ordnung?

Ja.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Die hinreichende Bedingungen sind dann:

Hf(0,0) = [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 0} [/mm]

[mm] \mu_{1} [/mm] = 2
[mm] \mu_{2} [/mm] = ad - [mm] b^2 [/mm] = 2*0 - [mm] (-2)^2 [/mm] = -4
[mm] \mu_{1}>0 [/mm] und [mm] \mu_{2}<0 [/mm] => Negativ definit == Maximum

f(0,0) = 0

[mm] Hf(\bruch{1}{6},\bruch{1}{6}) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 4} [/mm]

[mm] \mu_{1} [/mm] = 2
[mm] \mu_{2} [/mm] = ad - [mm] b^2 [/mm] = 2*4 - [mm] (-2)^2 [/mm] = 4
[mm] \mu_{1}>0 [/mm] und [mm] \mu_{2}>0 [/mm] => Positiv definit == Minimum

[mm] f(\bruch{1}{6},\bruch{1}{6}) [/mm] = [mm] -\bruch{1}{108} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 19.06.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> danke für die Antwort!
>  
> Die hinreichende Bedingungen sind dann:
>  
> Hf(0,0) = [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 0}[/mm]
>  
> [mm]\mu_{1}[/mm] = 2
>  [mm]\mu_{2}[/mm] = ad - [mm]b^2[/mm] = 2*0 - [mm](-2)^2[/mm] = -4
>  [mm]\mu_{1}>0[/mm] und [mm]\mu_{2}<0[/mm] => Negativ definit == Maximum

Das stimmt nicht [mm] H_f(0,0) [/mm] is indefinit !


>  
> f(0,0) = 0
>  
> [mm]Hf(\bruch{1}{6},\bruch{1}{6})[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -2 \\ -2 & 4}[/mm]
>  
> [mm]\mu_{1}[/mm] = 2
>  [mm]\mu_{2}[/mm] = ad - [mm]b^2[/mm] = 2*4 - [mm](-2)^2[/mm] = 4
>  [mm]\mu_{1}>0[/mm] und [mm]\mu_{2}>0[/mm] => Positiv definit == Minimum

Das stimmt.


>  
> [mm]f(\bruch{1}{6},\bruch{1}{6})[/mm] = [mm]-\bruch{1}{108}[/mm]  


Bezug
                                
Bezug
Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Hallo fred97,

habe meinen Fehler gesehen und nun stimmt es auch bei mir - vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
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