www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Grenzwerte" - "Folge" rekursiv mit Gleichung
"Folge" rekursiv mit Gleichung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

"Folge" rekursiv mit Gleichung: editiert
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Do 24.06.2010
Autor: hawkingfan

Hallo!

Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.

z.b::

$ [mm] 4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1) [/mm] $

seien immer die Lösungen aus IN für $ [mm] a_i [/mm] $ gesucht.
Für $ [mm] a_{i-1}=4 [/mm] $ gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).

Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele Lösungen hat) für die Folge zu finden.

Grüße, hawkingfan

        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 24.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive
> Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung
> ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.
>  Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite
> Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele
> Lösungen hat) für die Folge zu finden.
>  
> Grüße, hawkingfan


Gib doch bitte das Beispiel an, damit man sehen kann,
worum es wirklich gehen soll und was du mit den "mehreren
Lösungen" meinst !

LG


Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:14 Do 24.06.2010
Autor: hawkingfan

z.b::

[mm] 4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1) [/mm]

seien immer die Lösungen aus IN für [mm] a_i [/mm] gesucht.
Für [mm] a_{i-1}=4 [/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: bitte kontrollieren !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Do 24.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> z.b::
>  
> [mm]4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1)[/mm]
>  
> seien immer die Lösungen aus IN für [mm]a_i[/mm] gesucht.
>  Für [mm]a_{i-1}=4[/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).


hallo hawkingfan,

stimmt die Gleichung so, wie sie dasteht ?

(das wäre so etwas wie eine "diophantische
Exponentialgleichung" für das gesuchte [mm] a_i [/mm] !)

Sollte die Gleichung nicht z.B. so aussehen:

     [mm]4\,\left(a_{i-1}-\bruch{1}{2}\,a_{i}\right)\,=\ -\left(5a_{i}+2\right)\,*\,(-1)^{a_{i-1}}[/mm]


LG     Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:55 Do 24.06.2010
Autor: hawkingfan

eigentlich ist es korrekt aufgeschrieben.

Bezug
                                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 Do 24.06.2010
Autor: angela.h.b.


> eigentlich ist es korrekt aufgeschrieben.

Hallo,

ich verstehe "eigentlich" nicht.
ist nun Deine Version richtig, oder Al-Chwarizmis?

Gruß v. Angela


Bezug
                                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 Do 24.06.2010
Autor: hawkingfan

Mit "eigentlich" meine ich, dass es mit der Version, die ich woanders (irgendein ausgedruckter Zettel von einem Kommilitonen) gefunden habe, übereinstimmt. Kann natürlich auch sein, dass auf dem Zettel ein Druck-Fehler ist.

Bezug
                                                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:01 Do 24.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Mit "eigentlich" meine ich, dass es mit der Version, die
> ich woanders (irgendein ausgedruckter Zettel von einem
> Kommilitonen) gefunden habe, übereinstimmt. Kann
> natürlich auch sein, dass auf dem Zettel ein Druck-Fehler
> ist.


Hallo hawkingfan,

ich vermute Letzteres, denn die Gleichung ist für
die Unbekannte [mm] a_i [/mm] eine sonderbare Mischung aus
linearer und Exponentialgleichung, wobei die Basis
gleich -1 ist, d.h. allfällige Lösungen wären von
vornherein auf ganze Zahlen beschränkt ...
Wie hast du die Lösungen (8 und 1 erfüllen die
Gleichung für [mm] a_{i-1}=4 [/mm] tatsächlich) überhaupt
ermittelt ?

LG  und [gutenacht]


Al-Chw.


Nachtrag:

Das Rätsel hat sich gelöst. Siehe
da !

Bezug
                                                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Fr 25.06.2010
Autor: hawkingfan

Falls es noch jemanden interessiert:
Dass es mehrere Lösungen könnte ist, finde ich, naheliegend. Eigentlich immer, wenn es zwei Sachen gibt, deren Differenz etwas ergeben soll, gucke ich das erstmal.

Bezug
        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Reihenfolge umkehren !
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Fr 25.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo!
>  
> Ich habe gerade eine Folge, die durch eine rekursive
> Gleichung definiert ist. Das besondere an dieser Gleichung
> ist, dass es mehrere Lösungen geben kann.
>  
> z.b::
>  
> [mm]4(a_{i-1}-\bruch{1}{2}a_{i})=-(5a_{i}+2)((-1)^{a_i}-1)[/mm]
>  
> seien immer die Lösungen aus IN für [mm]a_i[/mm] gesucht.
>  Für [mm]a_{i-1}=4[/mm] gibt es mehrere Lösungen (8 und 1).
>
> Jetzt die Frage: Kann man dann trotzdem eine explizite
> Vorschrift (d.h. eine Gleichung, die dann unheimlich viele
> Lösungen hat) für die Folge zu finden.
>  
> Grüße, hawkingfan


Hallo hawkingfan,

nachdem ich bei dieser Frage schon fast kapituliert
hatte, habe ich mir das Ganze nochmals angeschaut und
dann plötzlich gemerkt, was hier das Problem war und
was eigentlich hinter der Aufgabe steckt. Es handelt
sich sogar um prominente Zahlenfolgen mit einem eigenen
Namen, mit einer kleinen Modifikation:

So wie du die "Rekursionsformel" angegeben hast, ist
es eben gar keine "richtige" Rekursionsformel, da sie
zu gegebenem [mm] a_{i-1} [/mm] ja eben gar nicht immer einen eindeu-
tigen Wert für das nachfolgende Glied [mm] a_i [/mm] liefert.
Wenn man aber ganz einfach die Reihenfolge umkehrt,
also gewissermaßen "rückwärts" rechnet, so kommt man
zu einer eindeutig bestimmten, rekursiv definierten
Zahlenfolge ! Für eine Folge [mm] _{i\in\IN} [/mm] , deren Glieder
der Gleichung

      [mm]4\left(\,c_{i}-\bruch{1}{2}\,c_{i-1}\,\right)\ =\ -(\,5\,c_{i-1}+2)(\,(-1)^{c_{i-1}}-1\,)[/mm]

genügen, kann man als Startglied [mm] c_1 [/mm] eine beliebige natürliche
Zahl nehmen und erhält dann eine eindeutig rekursiv definierte
sogenannte "Collatz-Folge". Mit diesen Folgen ist ein bis heute
ungelöstes zahlentheoretisches Problem verbunden.


LG     Al-Chw.  


Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Fr 25.06.2010
Autor: hawkingfan

Ah, super.
Diese Formel für die Collatz-Folge war mit bisher unbekannt, steht auch nicht im deutschen Wikipedia-Eintrag. Daher kommt dann wahrscheinlich auch das wissende Grinsen meines Kommilitonen.
Danke!

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Fr 25.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Ah, super.
>  Diese Formel für die Collatz-Folge war mit bisher
> unbekannt, steht auch nicht im deutschen Wikipedia-Eintrag.
> Daher kommt dann wahrscheinlich auch das wissende Grinsen
> meines Kommilitonen.
>  Danke!


Naja, die Formel, die du angegeben hast, war mir zuerst
auch ganz fremd und rätselhaft; ich bin der Sache auch
erst nach etlicher Zeit auf die Spur gekommen. Der
entscheidende Moment war der, als ich feststellte, dass
in der Gleichung mit dem Teilterm  [mm] (-1)^{a_i}-1 [/mm] als Faktor
eine Fallunterscheidung nach geraden oder ungeraden
Werten von [mm] a_i [/mm] getroffen werden kann.

Was mich noch interessieren würde: In welchem genauen
Zusammenhang ist die Gleichung denn aufgetreten ?


LG    Al-Chw.


Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 Fr 25.06.2010
Autor: hawkingfan

Die Aufgabe war auf so einem Zettel mit Aufgaben zum Knobeln. Da sind ja häufiger Probleme, die einen auf irgendwas berühmtes  und ungelöstes stoßen lassen.

Bezug
        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:28 Fr 25.06.2010
Autor: hawkingfan

Mich würde mal interessieren, wie man allgemein solche Aufgaben löst (also aus rekursiv definierten Folgen, explizit definierte machen).
Es gibt ein paar Formeln, für so etwas wie
[mm] a_{i}=\alpha\*a_{i-1}+K. [/mm]
Gibt es für sowas wie
[mm] a_{i}=a_{i-1}^2 [/mm] auch Formeln?
Gibt es vielleicht allgemeine Lösungsansäzte?

grüße, hawkingfan

Bezug
                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Sa 26.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo hawkingfan


> Mich würde mal interessieren, wie man allgemein solche
> Aufgaben löst (also aus rekursiv definierten Folgen
> explizit definierte machen).
>  Es gibt ein paar Formeln, für so etwas wie
>  [mm]a_{i}=\alpha\*a_{i-1}+K.[/mm]

>  Gibt es für sowas wie
>  [mm]a_{i}=a_{i-1}^2[/mm] auch Formeln?

Natürlich - und die kannst du auch ganz leicht selber herleiten !

>  Gibt es vielleicht allgemeine Lösungsansätze?

Nein, die Vielfalt möglicher Rekursionsformeln ist
viel zu groß, als dass man da ein allgemeines Rezept
angeben könnte.

Bestimmte "allgemeine" Formeln beziehen sich stets
nur auf einen ganz eng begrenzten Typ von Rekursions-
formeln.

LG     Al-Chwarizmi

Bezug
                        
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:11 So 27.06.2010
Autor: hawkingfan

Gibt es irgendwo eine Übersicht dieser Formeln?

Bezug
                                
Bezug
"Folge" rekursiv mit Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 So 27.06.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Gibt es irgendwo eine Übersicht dieser Formeln?


Keine Ahnung. Da müsste ich auch googeln.

Eine Übersicht aller derartigen Formeln gibt es
aber bestimmt nicht, da es unendlich viele geben
müsste.

LG    Al-Chw.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Grenzwerte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de