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Forum "Topologie und Geometrie" - Kugeltransfomationen
Kugeltransfomationen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kugeltransfomationen: Kugeloberfläche auf 26 Punkte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Sa 20.01.2018
Autor: Science-Guru

Gegeben ist eine Einheitskugel mit einem beliebigen Vektor:
Zielvektor P={X,Y,Z} mit [mm] |P|=√(X^2+Y^2+Z^2 [/mm] )=1
X=sin⁡(θ)*cos⁡(φ)
Y=sin⁡(θ)*sin⁡(φ)
Z=cos⁡(θ)


Ausserdem sind 26 Raumpunkte gegeben (Flächen-, Kanten- und Eck-Punkte des Einheitswürfels - ohne den Ursprung des Koordinatensystems {0, 0, 0}), der die Einheitkugel umschliest, also folgende 26 Raumpunkte:

P_01={-1,-1,-1} ; P_02={-1,-1,0} ; P_03={-1,-1,+1}
P_04={-1,0,-1} ; P_05={-1,0,0} ; P_06={-1,0,+1}
P_07={-1,+1,-1} ; P_08={-1,+1,0} ; P_09={-1,+1,+1}

P_10={0,-1,-1} ; P_11={0,-1,0} ; P_12={0,-1,+1}
P_13={0,0,-1} ;  Ursprung P_05={0,0,0} ; P_14={0,0,+1}
P_15={0,+1,-1} ; P_16={0,+1,0} ; P_17={0,+1,+1}

P_18={+1,-1,-1} ; P_19={+1,-1,0} ; P_20={+1,-1,+1}
P_21={+1,0,-1} ; P_22={+1,0,0} ; P_23={+1,0,+1}
P_24={+1,+1,-1} ; P_25={+1,+1,0} ; P_26={+1,+1,+1}

Jeder der 26 Raumpunkte ist mit einer Wahrscheinlichkeit Wi behaftet. Für diese 26 Wahrscheinlickeitswerte müssen folgende Gleichungen erfüllt sein:

[mm] W_i∈R [/mm]  für i=1 bis 26

[mm] 0≤W_i≤1 [/mm]

[mm] ∑W_i [/mm] = 1  , d.h. [mm] Summe(W_i) [/mm] = 1

W_(+1,+1,+1)+W_(+1,+1,0)+W_(+1,+1,-1)+W_(+1,0,+1)+W_(+1,0,0)+W_(+1,0,-1)+W_(+1,-1,+1)+W_(+1,-1,0)+W_(+1,-1,-1)- (W_(-1,+1,+1)+W_(-1,+1,0)+W_(-1,+1,-1)+W_(-1,0,+1)+W_(-1,0,0)+W_(-1,0,-1)+W_(-1,-1,+1)+W_(-1,-1,0)+W_(-1,-1,-1) )=X=sin⁡(θ)*cos⁡(φ)

Kurzform:
∑(W_(+1,j,k)-W_(-1,j,k) ) = X = sin⁡(θ)*cos⁡(φ)

∑(W_(i,+1,k)-W_(i,-1,k) ) = Y = sin⁡(θ)*sin⁡(φ)

∑(W_(i,j,+1)-W_(i,j,-1) ) = Z = cos⁡(θ)



Anschauliche Beschreibung:

Einzelne Vektoren (Real-Vektoren) können nur in den 26 Raumpunkten des Einheitswürfels realisiert werden und nicht auf der Einheitskugel (dort existieren nur die Ziel-Vektoren). Die Aufgabe ist die Wahrscheinlichkeiten für diese 26 Raumpunkte so zu berechnen, dass bei sehr vielen Realisierungen im Mittel (d.h. beim aufsummieren der realisierten einzelnen Real-Vektoren auf den 26 Raumpunkten) jeder beliebige Vektor (Zielvektor P={X,Y,Z}) auf der Einheitkugel rauskommt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Kugeltransfomationen: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Di 23.01.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Science-Guru,

leider habe ich gewisse Mühe, zu verstehen, was du anstrebst.
Ich kann mir zwar die Verteilung der 26 Punkte im Raum vorstellen
(Analogie:  die Mittelpunkte der 26 Teilwürfelchen, welche man
vermeintlich auf der Oberfläche des Rubik-Würfels sieht).
Ferner habe ich verstanden, dass du offenbar eine Methode
suchst, beliebige Punkte auf der Kugeloberfläche durch
gewisse Linearkombinationen (?) der 26 Grundvektoren
darzustellen.
Weshalb du dann aber von "Wahrscheinlichkeiten" sprichst,
ist mir nicht so ganz klar.
Könntest du deine Idee etwas weiter umschreiben ? Und vor
allem:  Wozu soll das Ganze überhaupt dienen ? Hast du
irgendein praktisches Ziel im Auge ?

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Kugeltransfomationen: Erläuterung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:54 Sa 24.02.2018
Autor: Science-Guru

hallo,
ich rede von Wahrscheinlichkeiten, weil man sich das Problem als Partikelbewegung in einem diskreten Raum vostellen kann. Das Partikel kann sich nur auf den diskreten Punkten bewegen, es soll aber im Mittel in eine bestimmte Richtung fliegen. Diese Richtung ist nicht diskret und durch den beliebiegen Vektor auf der Einheitskugel definiert. Das Partikel bewegt sich nur auf diskreten Punkten kann also in jedem Zeitschritt nur zu einem der 26 benachbarten Raumpunkten springen, soll aber im Mittel in der Richtung des Einheits-Zielvektors P sich bewegen. Deshalb muss auf jedem der 26 Raumpunkte eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt werden, die vom gegebenen Zielvektor P natürlich abhängt.
Würde mich freuen wenn jemand dieses Problem allgemeingültig lösen könnte.

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Kugeltransfomationen: Versuch ohne Garantie
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Sa 24.02.2018
Autor: Al-Chwarizmi


> hallo,
>  ich rede von Wahrscheinlichkeiten, weil man sich das
> Problem als Partikelbewegung in einem diskreten Raum
> vostellen kann. Das Partikel kann sich nur auf den
> diskreten Punkten bewegen, es soll aber im Mittel in eine
> bestimmte Richtung fliegen. Diese Richtung ist nicht
> diskret und durch den beliebiegen Vektor auf der
> Einheitskugel definiert. Das Partikel bewegt sich nur auf
> diskreten Punkten kann also in jedem Zeitschritt nur zu
> einem der 26 benachbarten Raumpunkten springen, soll aber
> im Mittel in der Richtung des Einheits-Zielvektors P sich
> bewegen. Deshalb muss auf jedem der 26 Raumpunkte eine
> Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt werden, die vom
> gegebenen Zielvektor P natürlich abhängt.
>  Würde mich freuen wenn jemand dieses Problem
> allgemeingültig lösen könnte.
>  
> Grüße


Hallo Science-Guru

Ein paar Überlegungen:

(1.)  Eigentlich hast du mit 26 möglichen "Schrittvektoren"
23 zuviel. Um Bewegungen im 3D-Raum darzustellen, würden
ja eigentlich 3 Grundvektoren ausreichen, welche allerdings
nicht nur mit Faktoren (Wahrscheinlichkeiten) im Intervall
[0..1], sondern z.B. mit solchen aus [-1..+1] multipliziert
werden dürfen.  Bei Verzicht auf negative Faktoren würden
dann 6 "Grundvektoren" jedenfalls ausreichen (aber auch
schon 4, welche etwa vom Nullpunkt aus zu 4 tetraedrisch
angeordneten Eckpunkten eines Würfels zeigen !).

(2.)  Irgendwie verstehe ich aber deine Idee mit den 26
möglichen Schrittvektoren trotzdem, denn du möchtest
dich offenbar im 3D-Gitter nicht nur auf ganz "elementare"
Schritte der Länge 1 beschränken, sondern auch "diagonal"
gerichtete der Längen √(2) und √(3) zulassen.

(3.)  Um in die Richtung einer Lösung zu kommen, würde
ich gerne mal von meiner oben angegebenen Tetraeder-Idee
ausgehen:  
Seien [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{c} [/mm] , [mm] \vec{d} [/mm] vier Vektoren, welche
untereinander paarweise den "Tetraeder-Winkel"  109.47°
einschließen. Unter den 26 Schrittvektoren, die du vorsiehst,
lassen sich leicht 4 auswählen, welche diese Bedingung
erfüllen.
Sei nun weiter  [mm] \vec{p} [/mm]  dein "Zielvektor", in dessen Richtung
dein Random-Walk schließlich marschieren soll.
Nun wäre meine erste Idee, einfach einmal die Winkel
[mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta [/mm]  sowie die Wahrscheinlichkeiten  
[mm] w_a [/mm] , [mm] w_b [/mm] , [mm] w_c [/mm] , [mm] w_d [/mm]  so zu definieren:

   [mm] $\alpha\,:=\ \angle (\vec{p},\vec{a})$ [/mm]  ,  [mm] $\beta\,:=\ \angle (\vec{p},\vec{b})$ [/mm]
   [mm] $\gamma\,:=\ \angle (\vec{p},\vec{c})$ [/mm]  ,  [mm] $\delta\,:=\ \angle (\vec{p},\vec{d})$ [/mm]

   $\ Nenner:=\ [mm] 4+cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)+cos(\delta)$ [/mm]

   $\ [mm] w_a\,:=\ \frac{1+cos(\alpha)}{Nenner}\ [/mm] ,\ [mm] w_b\,:=\ \frac{1+cos(\beta)}{Nenner}\ ,\quad [/mm] etc.$

Diese Wahrscheinlichkeiten addieren sich auf die Summe 1
auf (so sind sie konstruiert), und ich vermute, dass eine
Lösung so etwas in der Art sein müsste. Für die Anwendung
bestimme man also (zu den gewählten "Grundvektoren"
[mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{c} [/mm] , [mm] \vec{d} [/mm]  und zum "Zielvektor"
[mm] \vec{p} [/mm]  die Wahrscheinlichkeiten  [mm] w_a [/mm] , [mm] w_b [/mm] , [mm] w_c [/mm] , [mm] w_d [/mm]
und benütze diese dann als Gewichte für die Zufallsverteilung,
nach welcher jeweils die einzelnen Schrittvektoren für den
random walk bestimmt werden.    

Bemerkung:  diese Formeln sollen mal einen "ersten Wurf"
darstellen, der zwar so ungefähr in die richtige Richtung
geht. Im Detail bin ich mir aber noch nicht sicher, ob das
Ganze auch schon exakt stimmt. Als nächstes werde ich
vielleicht mal eine Simulation durchführen, um herauszufinden,
ob es auch numerisch passen könnte. Vorläufig also noch
keine Garantie....

LG ,  Al-Chwarizmi  



Bezug
                                
Bezug
Kugeltransfomationen: passt noch nicht...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:03 Sa 24.02.2018
Autor: Al-Chwarizmi


>  Als nächstes werde ich vielleicht mal eine Simulation  
>  durchführen, um herauszufinden, ob es auch numerisch
>  passen könnte.

Mittlerweile habe ich eine solche Simulation durchgeführt.
Leider stimmt es noch nicht. Zwischen dem Vektor [mm] \vec{p} [/mm]
und dem wirklichen Zielvektor des erzeugten random walk's
klafft meist noch ein deutlicher Winkel bis zu etwa 60°, was
deutlich zuviel ist. Die Umsetzung der Winkel zu Wahrschein-
lichkeiten ist also noch nicht in Ordnung (allerdings auch
nicht total daneben ...)

LG ,  Al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Kugeltransfomationen: Dosierter Random Walk
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Do 01.03.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Korrigierte Version:

>  .......
>  .......

>  Um in die Richtung einer Lösung zu kommen, würde
>  ich gerne mal von der angegebenen Tetraeder-Idee
>  ausgehen:  
>  Seien [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec{b}[/mm] , [mm]\vec{c}[/mm] , [mm]\vec{d}[/mm] vier Vektoren,
>  welche untereinander paarweise den "Tetraeder-Winkel"  
>  109.47°  einschließen. Unter den 26 Schrittvektoren, die
>  du vorsiehst, lassen sich leicht 4 auswählen, welche diese
>  Bedingung erfüllen, beispielsweise:

     [mm] $\vec{a}\, =\, \pmat{1\\1\\1}\quad,\quad \vec{b}\, =\, \pmat{-1\\-1\\1}\quad,\quad \vec{c}\, =\, \pmat{1\\-1\\-1}\quad,\quad \vec{d}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{-1\\1\\-1}$ [/mm]

>  Sei nun weiter  [mm]\vec{p}[/mm]  dein "Zielvektor", in dessen
>  Richtung dein Random-Walk schließlich marschieren soll.

Nun bestimme man zunächst die baryzentrische Zerlegung

     [mm] $\vec{p}\, =\, \alpha*\vec{a}\,+\,\beta*\vec{b}\,+\,\gamma*\vec{c}\,+\,\delta*\vec{d}$ [/mm]

wobei noch die zusätzliche Bedingung  [mm] $\alpha\,+\,\beta \,+\,\gamma \,+\,\delta\, [/mm] = [mm] \,1$ [/mm]
erfüllt sein soll.

Nun sei  $\ m:=\ [mm] min\,\{\alpha\,,\,\beta \, , \,\gamma \, ,\,\delta\}$ [/mm]

und   $\ [mm] w_a\,:=\ \frac{\alpha-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_b\,:=\ \frac{\beta-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_c\,:=\ \frac{\gamma-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_d\,:=\ \frac{\delta-m}{1-4 m}$ [/mm]

Dies sind nun die Wahrscheinlichkeiten, mit welchen man die
"Schrittvektoren" [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{c} [/mm] , [mm] \vec{d} [/mm]  im Random Walk
benützen soll, damit man (über viele Schritte hinweg)
schließlich in die durch [mm] \vec{p} [/mm]  angegebene Richtung wandert.

Man rechnet leicht nach, dass diese Wahrscheinlichkeiten wirklich
im Intervall  [0 , 1]  liegen und sich auf  die Summe 1 aufaddieren
(so sind sie konstruiert), und eine der Wahrscheinlichkeiten ist
gleich Null (so dass also höchstens 3 der 4 Schrittvektoren effektiv
benützt werden).

LG ,  Al-Chwarizmi  



Dosierter Random Walk

Oben habe ich definiert:     $\ m:=\ [mm] min\,\{\alpha\,,\,\beta \, , \,\gamma \, ,\,\delta\}$ [/mm]

Man kann nun aber das eigentlich beabsichtigte Ziel, also
einen Random Walk mit einer vorgegebenen Zielrichtung  [mm] \vec{p} [/mm] ,
ebenfalls erreichen, wenn man nur verlangt:

    $\ [mm] m\,\in\,\IR\ [/mm] \ , [mm] \quad m\le\, min\,\{\alpha\,,\,\beta \, , \,\gamma \, ,\,\delta\}$ [/mm]

Die Schrittwahrscheinlichkeiten berechnet man dann genau wie oben:

    $\ [mm] w_a\,:=\ \frac{\alpha-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_b\,:=\ \frac{\beta-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_c\,:=\ \frac{\gamma-m}{1-4 m}\quad [/mm] , [mm] \quad w_d\,:=\ \frac{\delta-m}{1-4 m}$ [/mm]

Damit resultiert jeweils ein Random Walk, der im Mittel (über
sehr viele Einzelschritte) in die Zielrichtung [mm] \vec{p} [/mm]  verläuft,
aber umso "chaotischer" verläuft, je kleiner der m-Wert ist.
Zur Illustration der Idee des Random Walk benützt man ja oft
das Bild des Betrunkenen, der von einem Startpunkt aus ziellos
in der Gegend rumtorkelt. Mit unserem neuen Modell können wir
nun quasi den Alkoholpegel des Betrunkenen regulieren. Er weiß
zwar noch, in welche Richtung er eigentlich sollte, aber die
Schritte gehorchen ihm umso weniger, je stärker er angedödelt
ist. Im Limes für $\ [mm] m\,\to\,-\infty$ [/mm]  erhalten wir den echt "ziellosen"
Random Walk mit

    $\ [mm] w_a\,=\ w_b\,=\ w_c\,=\ w_d\,=\ \frac{1}{4}$ [/mm]


Bezug
        
Bezug
Kugeltransfomationen: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 So 25.02.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Science-Guru,

ich denke, dass ich deine Frage jetzt in dem ursprünglich
gemeinten Sinn beantworten kann, der dir vorschwebte.

Mein "Versuchsballon" bringt keine korrekte Lösung, weil
meine dortige Idee mit den Cosinuswerten zwar für eine
Situation mit einem rechtwinkligen Dreibein von Vektoren
passen würde, ich sie aber auf ein tetraedrisches "Vierbein"
anwenden wollte. Zudem habe ich ja dort deine 26 "Grund-
vektoren" gar nicht verwendet, sondern nur 4 davon.

Meine neue Idee:  um (näherungsweise) in eine bestimmte
(durch den Vektor [mm] \vec{p} [/mm] vorgegebene) Richtung zu wandern,
genügt es, drei der insgesamt 26 "Grundvektoren" als Schritt-
vektoren auszuwählen, nämlich solche, die "fast" schon in die
gewünschte Richtung zeigen. Um zu einem gegebenen  [mm] \vec{p} [/mm]
diese 3 Schrittvektoren auszuwählen, teilen wir zunächst die
Würfeloberfläche in Dreiecke ein. Der "triangulierte" Würfel
sieht dann so aus:
    [Dateianhang nicht öffentlich]
Jede Würfelseitenfläche ist in 8 kongruente Teildreiecke
unterteilt. Jedes der insgesamt 48 Teildreiecke besitzt als
Eckpunkte jeweils einen Seitenmittelpunkt (M), einen
Kantenmittelpunkt (K) und einen Eckpunkt (E) des Würfels.
Zum gegebenen Vektor [mm] \vec{p} [/mm] bestimme man nun zuerst
dasjenige Dreieck der Würfeltriangulation, in welchem der
Ursprungs-Strahl mit dem Richtungsvektor [mm] \vec{p} [/mm]  den Würfel
verlässt (sollte der Strahl eine Kante oder gar einen Knoten
der Triangulation treffen, ist es einerlei, welches angrenzende
Dreieck man wählt). Die Ortsvektoren [mm] \vec{M}, \vec{K}, \vec{E} [/mm] der drei
Eckpunkte des gewählten Dreiecks wählen wir nun als
"Schrittvektoren" für die "Zufallswanderung" (random walk).
Damit haben wir folgende nächste Teilaufgabe: Ermittle jene
Linearkombination  [mm] \vec{L} [/mm] der drei ausgewählten Schrittvektoren

     [mm] $\vec{L}\ [/mm] =\ [mm] m*\vec{M} [/mm] + k* [mm] \vec{K}+e* \vec{E}$ [/mm]

mit  $\ [mm] m\ge [/mm] 0\ [mm] \wedge\ k\ge [/mm] 0\ [mm] \wedge\ e\ge [/mm] 0\ \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] m+k+e\,=\,1$ [/mm]  , welche parallel zu
und gleichgerichtet mit [mm] \vec{p} [/mm] ist. Dies führt auf ein einfaches
lineares Gleichungssystem für die Faktoren m, k und e.
Die Werte dieser Faktoren sind dann auch gerade die Wahrschein-
lichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten, mit welchen man die
entsprechenden Schrittvektoren im Random Walk benützen soll.
Falls immer noch alle 26 "Grundvektoren" in der Wahrschein-
lichkeitsverteilung berücksichtigt werden sollen, setzt man
einfach alle übrigen 23 Faktoren gleich null.
Gegenüber anderen "Wahrscheinlichkeitsverteilungen", bei
welchen nicht nur die 3 "nächstliegenden" "Grundvektoren" als
Schrittvektoren benützt werden, haben die auf diese Weise
resultierenden "Wanderungen" den wesentlichen Vorteil, dass
sie trotz der Zufälligkeit im Detail doch insgesamt recht
"zielstrebig" sind. Sie gehen z.B. nie in eine total "falsche"
Richtung.

LG ,   Al-Chwarizmi


Nach-Bemerkung:

Inzwischen habe ich (mit einem halben Tag Arbeit) ein Programm
erstellt, welches jeweils zuerst einen zufälligen Richtungsvektor [mm] \vec{p} [/mm]
(Richtung gleichverteilt auf der Kugeloberfläche) bestimmt.
Dann werden zu [mm] \vec{p} [/mm]  die Eckpunkte  M, E, K  desjenigen Dreiecks
der Würfeltriangulation ermittelt, welches er durchstößt.
Ein Gleichungssystem wird gelöst, welches die Wahrscheinlichkeiten
für die drei Schrittvektoren  [mm] \vec{M}, \vec{E}, \vec{K} [/mm] im RandomWalk bestimmt.
Ein solcher RandomWalk wird dann (z.B. mit 10000 Schritten)
durchgeführt. Der gesamte "Reisevektor" entspricht dann jeweils
fast exakt dem 10000-fachen desjenigen Teils des Vektors [mm] \vec{p} [/mm] ,
der innerhalb des Einheitswürfels (Inkugelradius=1) liegt.

  


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kugeltransfomationen: einfache Berechnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:42 Do 01.03.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Kleiner Nachtrag für jene, die mitrechnen möchten:

      [Dateianhang nicht öffentlich]

> Ermittle jene Linearkombination  [mm]\vec{L}[/mm] der drei ausgewählten
> Schrittvektoren
>  
> [mm]\vec{L}\ =\ m*\vec{M} + k* \vec{K}+e* \vec{E}[/mm]
>  
> mit  [mm]\ m\ge 0\ \wedge\ k\ge 0\ \wedge\ e\ge 0\ \ \wedge\ \ m+k+e\,=\,1[/mm] ,
> welche gleichgerichtet parallel zu  [mm]\vec{p}[/mm] ist.
> Dies führt auf ein einfaches lineares Gleichungssystem
> für die Faktoren m, k und e.

Anstatt so ein (doch etwas umfangreiches) Gleichungssystem
aufzustellen und zu lösen, kann man sich durch einige
Überlegungen recht viel Arbeit ersparen. Die gesuchten
Faktoren m, k, e (die dann auch als Wahrscheinlichkeiten
für den Random Walk dienen) entsprechen gerade den
baryzentrischen Koordinaten des Punktes P im Dreieck KME.
Und wegen der sehr speziellen Gestalt dieses Dreiecks
(gleichschenklig-rechtwinklig mit Schenkellänge 1)
erhält man für sie folgendes ganz einfache Rezept:

$\ m\ =\ [mm] \overrightarrow{KP}\,*\ \overrightarrow{KM}\quad ,\qquad [/mm] e\ =\ [mm] \overrightarrow{KP}\,*\ \overrightarrow{KE}\quad [/mm] , [mm] \qquad [/mm] k\ =\ [mm] 1\,-m\,-\,e$ [/mm]

LG  ,    Al-Chwarizmi


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Bezug
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