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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Mengen skizzieren
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Mengen skizzieren: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Mi 27.11.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Sei $ [mm] D=\{(x,y) \in \IR^2 | \medspace 1 < |x| + |y| \le 2 \} [/mm] $

Ist D i) offen, ii) abgeschlossen, iii) beschränkt, iv) kompakt?



Meine Lösung:

i) D ist 'nicht offen', denn bspw. $ ] [mm] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [/mm] [ [mm] \medspace \not\subseteq [/mm] D [mm] \medspace \forall \medspace \epsilon [/mm] > 0. $

ii) Aus i) weiß ich, dass D 'nicht offen' ist. Somit ist $ [mm] \IR \medspace \backslash\medspace [/mm] D $ 'offen'. Wenn das Komplement von D 'offen', so ist D 'abgeschlossen'.

An der Stelle widerspricht mir mein Kollege. Er sagt: Wenn D 'nicht offen', so ist das Komplement 'nicht abgeschlossen' und umgekehrt.

iii) D ist beschränkt, denn $ |x| [mm] \le2 \medspace \forall \medspace [/mm]  x [mm] \in [/mm] D. $

iv) D ist kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt.

Bin gespannt auf Euer Statement :)

LG, bondi

        
Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Mi 27.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm]D=\{(x,y) \in \IR^2 | \medspace 1 < |x| + |y| \le 2 \}[/mm]

Halten wir fest: D ist also eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] .

> i) D ist 'nicht offen', denn bspw. [mm]] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [ \medspace \not\subseteq D \medspace \forall \medspace \epsilon > 0.[/mm]

$] [mm] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [/mm] [$ ist offensichtlich ein Intervall, also eine Teilmenge von [mm] $\IR$, [/mm] D ist, wie oben erwähnt, eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$. [/mm]

Dein Aufschrieb  [mm]] \medspace 2-\epsilon, 2+\epsilon \medspace [ \medspace \not\subseteq D [/mm] macht also gar keinen Sinn.

Deine Idee dahinter aber vllt. schon.
Du willst also einen gewählten Punkt nehmen und zeigen, dass in jeder [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um den Punkt einer liegt, der nicht in D liegt.

Dann schreibe das doch so auf!!
Sage, welchen Punkt du betrachtest, nimm eine beliebige [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] darum und zeige, dass dort ein Punkt drin liegt, der nicht in D liegt, indem du die Bedingung von D nachrechnest.

> ii) Aus i) weiß ich, dass D 'nicht offen' ist.

Wenn du das korrekt zeigst: Ja, D ist nicht offen.

> Somit ist [mm]\IR \medspace \backslash\medspace D[/mm] 'offen'. Wenn das
> Komplement von D 'offen', so ist D 'abgeschlossen'.
>  
> An der Stelle widerspricht mir mein Kollege. Er sagt: Wenn
> D 'nicht offen', so ist das Komplement 'nicht
> abgeschlossen' und umgekehrt.

Dein Kollege hat recht.
Machen wir es einfach: Wir bleiben mal in [mm] $\IR$ [/mm] und betrachten das nicht-offene Intervall $[0,1[$.
Das Komplement dazu ist [mm] $\IR\setminus[0,1[\quad [/mm] = [mm] \quad]-\infty,0[ \;\cup\; [1,\infty[$ [/mm]
Siehst du selbst, dass das Komplement ebenfalls nicht offen ist? (Tipp: Leg mal eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] um $1 [mm] \in \IR\setminus [/mm] [0,1[$

"offen" und "abgeschlossen" sind nicht zwei gegensätzliche Dinge.
Mengen können sowohl offen als auch abgeschlossen sein (z.B. [mm] $\IR$) [/mm] und andere sowohl nicht-offen als auch nicht-abgeschlossen (z.B. $[0,1[$ in [mm] $\IR$) [/mm]

Das Komplement einer
- offenen Menge ist dann abgeschlossen
- abgeschlossenen Menge ist dann offen
- nicht-offenen Menge ist dann nicht-abeschlossen
- nicht-abeschlossenen Menge ist dann nicht-offen

> iii) D ist beschränkt, denn [mm]|x| \le2 \medspace \forall \medspace x \in D.[/mm]

Der Aufschrieb ist grottig. Du betrachtest doch Elemente im [mm] $\IR^2$. [/mm]
Zwar schreibt man später nur noch: "Sei [mm] $x\in\IR^2$, [/mm] wenn man weiß, was man tut, das bezweilfe ich aber bei dir.
Daher beantworte mal die Frage: Was soll denn $|x|$ sein für ein Element aus [mm] $\IR^2$? [/mm]

> iv) D ist kompakt, weil abgeschlossen und beschränkt.

netter Versuch… den Satz brauchst du nachher zwar, aber das machen wir mal nochmal, wenn i), ii) und iii) sitzen.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mi 27.11.2019
Autor: fred97

Gono hat ja schon alles Wichtige erzählt und einiges korrigiert.

Zwei Bemerkungen von mir.

1. Ist $ M [mm] \subset \IR^n$, [/mm] so gilt

M ist sowohl offen als auch abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] $M= [mm] \emptyset$ [/mm] oder $M= [mm] \IR^n.$ [/mm]

2. Manchmal gehts mit Folgen einfacher. Ist $ M [mm] \subset \IR^n$, [/mm] so gilt: M ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Limes jeder konvergenten Folge in M gehört zu M.

Damit aus gestattet schauen wir uns Deine Menge D und ihr Komplement $C:= [mm] \IR^2 \setminus [/mm] D$ an.

Wir setzen [mm] $u_n:=(1+\frac{1}{n}, [/mm] 0)$. Dann ist [mm] $(u_n)$ [/mm] eine konvergente Folge in D mit [mm] $\lim_{n \to \infty}u_n=(1,0)$. [/mm] Nun ist $(1,0) [mm] \notin [/mm] D$, also ist D nicht abgeschlossen.

Setzen wir  [mm] $v_n:=(2+\frac{1}{n}, [/mm] 0)$. Dann ist [mm] $(v_n)$ [/mm] eine konvergente Folge in  C mit [mm] $\lim_{n \to \infty}v_n=(2,0)$. [/mm] Nun ist $(2,0) [mm] \notin [/mm] C$, also ist C nicht abgeschlossen.  Damit ist D nicht offen.

Bezug
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