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Forum "Funktionalanalysis" - Oberflächenintegrale
Oberflächenintegrale < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Oberflächenintegrale: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Di 26.11.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Es sei diese Parametrisierung gegeben:
S= {(x,y,xy) [mm] \in R^3 [/mm] : (x,y) [mm] \in [/mm] [-1,1]x[-1,1]}
Geben Sie einen (möglichen) Normalenvektor an (bis auf Vorzeichen)!

Ich weisses überhaup nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Kann mir bitte jemand sagen wie hier hier vorgehen soll?

LG

        
Bezug
Oberflächenintegrale: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Di 26.11.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
Es sei diese Parametrisierung gegeben:
S= {(x,y,xy)  [mm] \in R^3 [/mm]  : (x,y)  [mm] \in [/mm]  [-1,1]x[-1,1]}
Geben Sie einen (möglichen) Normalenvektor an (bis auf Vorzeichen)!

Ich weisses überhaup nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Kann mir bitte jemand sagen wie hier hier vorgehen soll?

LG

Bezug
                
Bezug
Oberflächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Di 26.11.2019
Autor: chrisno

Hallo Ataaga,

da ist irgendetwas beim Einstellen schiefgelaufen. Ich habe mal die erste Version versteckt.
Nun meine Interpretation der Aufgabe, falls sie nicht richtig ist, wird es sicher hier jemand korrigieren.

Du hast eine Grundfläche in der xy-Ebene (x,y)  $ [mm] \in [/mm] $  [-1,1]x[-1,1] .
Über dieser Ebene ist die Fläche die durch die Funktionswerte beshrieben wird z(x,y) = xy.
Diese Fläche ist keine Ebene, sondern gewölbt. Du sollst nun eine Funktion angeben, die zu jedem Paar (x,y) den Normalenvektor des zugehörigen Punktes der Fläche angibst.

Bezug
        
Bezug
Oberflächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 Di 26.11.2019
Autor: chrisno

s.u.

Bezug
                
Bezug
Oberflächenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:12 Di 26.11.2019
Autor: Ataaga


> s.u.

was meinen Sie?

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Bezug
Oberflächenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Di 26.11.2019
Autor: chrisno

sollte nun da stehen. Sorry, aber nun ist für mich der Tag zuende.

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Oberflächenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Mi 27.11.2019
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Es sei diese Parametrisierung gegeben:
>  S= {(x,y,xy) [mm]\in R^3[/mm] : (x,y) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[-1,1]x[-1,1]}

>  Geben Sie einen (möglichen) Normalenvektor an (bis auf
> Vorzeichen)!
>  Ich weisses überhaup nicht, wie ich diese Aufgabe lösen
> soll. Kann mir bitte jemand sagen wie hier hier vorgehen
> soll?
>  
> LG


Hallo Ataaga,

Du benötigst nur einige Definitionen, die Ihr (hoffentlich) hattet:

zunächst sei  $Q:=[-1,1] \times [-1,1]$,  

$$f(x,y):=xy$$

und

$ $g(x,y):=(x,y,f(x,y))=(x,y,xy)$$

für $(x,y) \in Q.$

Damit ist dann $S=g(Q)$  (= Graph von g).

Nun sei $(x_0,y_0) \in Q$. Dann ist der Normalenvektor $n(g(x_0,y_0))$ im Flächenpunkt $g(x_0,y_0)$ gegeben durch

$$n(g(x_0,y_0)):= g_x(x_0,y_0) \times g_y(x_0,y_0),$$

wobei g_x und g_y die partiellen Ableitungen von g sind und  $ \times$ das Kreuzprodukt im \IR^3 bezeichnet.

Nun gilt $g_x=(1,0, f_x)^T$ und $g_y=(0,1,f_y)^T$.

Edit: ich hab mich  verschrieben,  die dritten Komponenten lauten -f_x bzw -f_y.



Rechne nun selbst nach, dass gilt:

$$n(g(x_0,y_0))= (-y_0,-x_0,1)^T.$$



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Oberflächenintegrale: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Mi 27.11.2019
Autor: Ataaga

Hallo FRED,
ich habe als Lösung das hier bei meiner Aufgabe: [mm] (x,y,1)^T [/mm]

Wenn ich Sie richtig verstanden habe..

LiebeGrüße

Bezug
                        
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Oberflächenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Mi 27.11.2019
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  ich habe als Lösung das hier bei meiner Aufgabe:
> [mm](x,y,1)^T[/mm]

Ich habe  mich bei meiner Antwort vertippt.  Schau  nach,  wie ich es korrigiert habe.

>  
> Wenn ich Sie richtig verstanden habe..

Wir  duzen uns in diesem Forum


>  
> LiebeGrüße


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Oberflächenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:45 Mi 27.11.2019
Autor: Ataaga

Hallo Fred,

[mm] (y,x,-1)^T [/mm]
jezt richtig oder?

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Oberflächenintegrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:12 Do 28.11.2019
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> [mm](y,x,-1)^T[/mm]
>  jezt richtig oder?

Na ja, ich bekomme  [mm](-y,-x,1)^T[/mm]. Aber Deine Lösung ist auch O.K., denn die Aufgabenstellung lautet:

"  Geben Sie einen (möglichen) Normalenvektor an (bis auf Vorzeichen)."


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