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Forum "Analysis des R1" - St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt
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St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 02.12.2019
Autor: Steve96

Aufgabe
Seien $a, b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] mi $ a < b$ und [mm] $\omega \in [/mm] C([a, b])$ mit [mm] $\omega(x) [/mm] > 0$ derart, dass [mm] $\int_{a}^{b} \omega(x) [/mm] dx < [mm] \infty$. [/mm]



Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] $(\cdot, \cdot)_{\omega}: [/mm] C([a, b] [mm] \times [/mm] C([a, b] [mm] \rightarrow \mathbb{R}$, [/mm] definiert durch


$(f, [mm] g)_{\omega} [/mm] .= [mm] \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) dx$ wohldefiniert und ein Skalarprodukt auf dem Raum, der stetigen Funktionen ist.



b) (Formel von Rodrigues) Zeigen Sie: Die bezüglich der Gewichtsfunktion [mm] $\omega$ [/mm] auf dem Intervall $[a, b ]$ orthogonale Polynome [mm] $p_{k}$ [/mm] erfüllen


[mm] $p_{k}(x) [/mm] = [mm] c_{k} \frac{1}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ]\quad (c_{k} \in \mathbb{R}, [/mm] k [mm] \in \mathbb{R}_{0}), [/mm]

falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad $k$ ist.



Hinweis: Zeigen Sie, dass ein Polynom [mm] $p_{k}$ [/mm] orthogonal zu allen Polynomen vom Grad [mm] $\le [/mm] k - 1$ ist.

Verwenden Sie dazu partielle Integration.

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Ich habe die a) folgendermaßen begonnen:





1.) Zeigen, dass [mm] $(\cdot, \cdot)_{\omega}$ [/mm] ein Skalarprodukt bildet


1.1) Positive Definitheit

Sei $f [mm] \in [/mm] C([a, b])$


Es ist $(f, [mm] f)_{\omega} [/mm] = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) f(x) dx = [mm] \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} [/mm] dx = [mm] \int_{a}^{b} [/mm] t(x) dx$


Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm] $f(x)^{2}$ [/mm] und $w(x) [mm] \cdot f(x)^{2}$ [/mm] wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man das begründen?

Wie zeige ich dann, dass [mm] $\int_{a}^{b} [/mm] t(x) d x [mm] \ge [/mm] 0 $ ist?




1.2) Symmetrie


Seien  $f, g [mm] \in [/mm] C([a, b])$.

Dann ist $(f, [mm] g)_{\omega}= \int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) = ....$

An dieser Stelle weiß ich nicht, ob das Produkt zweier Funktionen kommutativ ist. Wie zeigt man das? Mir ist nicht bekannt, dass die Menge der stetig diffbaren Funktionen bez. der Multiplikation eine Gruppe oder ähnliches bildet.



Die Linearität habe ich schon geschafft zu zeigen.


Nur bei der 1.1) und 1.2) habe ich Schwierigkeiten.




Und was genau meint man hier mit "Wohldefiniertheit"? Und wie könnte man diese zeigen?



Freue mich auf eine Antwort!

lg, Steve

  

        
Bezug
St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:14 Mo 02.12.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1.) Zeigen, dass [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}[/mm] ein Skalarprodukt bildet
>  
>
> 1.1) Positive Definitheit
>  
> Sei [mm]f \in C([a, b])[/mm]
>  
>
> Es ist [mm](f, f)_{\omega} = \int_{a}^{b} w(x) f(x) f(x) dx = \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} dx = \int_{a}^{b} t(x) dx[/mm]

[ok]

> Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm]f(x)^{2}[/mm] und [mm]w(x) \cdot f(x)^{2}[/mm] wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man das begründen?

Gemeinhin sollten dir die Begriffe "Kettenregel" und "Produktregel" in Bezug auf die Differenzierbarkeit etwas sagen.
Was sagen diese aus?

Begründe dann mit dem Wissen, dass die jeweiligen Ableitungen von w und f stetig sind, dass auch $w(x) [mm] \cdot f(x)^{2}$ [/mm] stetig differenzierbar ist, d.h. dass die Ableitung existiert und stetig ist.

> Wie zeige ich dann, dass [mm]\int_{a}^{b} t(x) d x \ge 0[/mm] ist?

Es ist $t(x) [mm] \ge [/mm] 0$ auf $[a,b]$, wie du bereits gezeigt hast.
Daraus folgt auch, dass  [mm]\int_{a}^{b} t(x) d x \ge 0[/mm]

Das hattet ihr bestimmt, ansonsten müsstest du es mit der Definition des Integrals beweisen… da ich aber nicht davon ausgehe, dass das hier verlangt ist, darfst du das wohl benutzen.
Alternativ hattet ihr womöglich, dass das Integral monoton ist, also dass gilt $f [mm] \ge [/mm] g [mm] \quad \Rightarrow \quad \int_a^b [/mm] f(x) dx [mm] \ge \int_a^b [/mm] g(x) dx$
Das beweist man aber eigentlich über obige Aussage… aber jenachdem, was ihr hattet, folgt das eine eben aus dem anderen.

> Seien  [mm]f, g \in C([a, b])[/mm].
>  
> Dann ist [mm](f, g)_{\omega}= \int_{a}^{b} w(x) f(x) g(x) = ....[/mm]
>  
> An dieser Stelle weiß ich nicht, ob das Produkt zweier Funktionen kommutativ ist. Wie zeigt man das?

Eigentlich eine sehr sehr gute Frage, wenn wir über die Funktion $h(x) = [mm] (f\cdot [/mm] g)(x)$ reden würden.
Aber das ist hier gar nicht notwendig, du brauchts dafür nämlich nur, dass du im Integranden $f(x)$ und $g(x)$ vertauschen kannst. Nun sind aber f(x) und g(x) für jedes x einfach reelle Zahlen, d.h. die Gleichung $f(x)g(x) = g(x)f(x)$ folgt aus der Kommutativität der rellen Zahlen.

> Und was genau meint man hier mit "Wohldefiniertheit"? Und wie könnte man diese zeigen?

"Wohldefiniert" meint, dass sämtliche Ausdrücke existieren und unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind.
Letzteres ist hier nicht relevant, aber du müsstest kurz begründen, warum der Ausdruck

[mm] $\int_{a}^{b} [/mm] w(x) f(x) g(x) dx $

für beliebige stetige Funktionen f und g überhaupt existiert, also warum  $w(x) f(x) g(x)$ Riemann-integrierbar auf [a,b] ist.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
St.. diffb. Fkt. Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Mo 02.12.2019
Autor: fred97


> Seien [mm]a, b \in \mathbb{R}[/mm] mi [mm]a < b[/mm] und [mm]\omega \in C([a, b])[/mm]
> mit [mm]\omega(x) > 0[/mm] derart, dass [mm]\int_{a}^{b} \omega(x) dx < \infty[/mm].
>  
>
>
> Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}: C([a, b] \times C([a, b] \rightarrow \mathbb{R}[/mm],
> definiert durch
>
>
> [mm](f, g)_{\omega} .= \int_{a}^{b} w(x) f(x) g(x) dx[/mm]
> wohldefiniert und ein Skalarprodukt auf dem Raum, der
> stetigen Funktionen ist.
>  
>
>
> b) (Formel von Rodrigues) Zeigen Sie: Die bezüglich der
> Gewichtsfunktion [mm]\omega[/mm] auf dem Intervall [mm][a, b ][/mm]
> orthogonale Polynome [mm]p_{k}[/mm] erfüllen
>  
>
> [mm]$p_{k}(x)[/mm] = [mm]c_{k} \frac{1}{\omega(x)} \frac{d^{k}}{dx^{k}} \left [ \omega(x) (x - a)^{k} (b - x)^{k} \right ]\quad (c_{k} \in \mathbb{R},[/mm]
> k [mm]\in \mathbb{R}_{0}),[/mm]
>
> falls die rechte Seite ein Polynom vom Grad [mm]k[/mm] ist.
>  
>
>
> Hinweis: Zeigen Sie, dass ein Polynom [mm]p_{k}[/mm] orthogonal zu
> allen Polynomen vom Grad [mm]\le k - 1[/mm] ist.
>  
> Verwenden Sie dazu partielle Integration.
>  Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass
> mir jemand helfen kann.
>  
> Ich habe die a) folgendermaßen begonnen:
>  
>
>
>
>
> 1.) Zeigen, dass [mm](\cdot, \cdot)_{\omega}[/mm] ein Skalarprodukt
> bildet
>  
>
> 1.1) Positive Definitheit
>  
> Sei [mm]f \in C([a, b])[/mm]
>  
>
> Es ist [mm](f, f)_{\omega} = \int_{a}^{b} w(x) f(x) f(x) dx = \int_{a}^{b}\underbrace{ \underbrace{w(x)}_{> 0} \underbrace{f(x)^{2}}_{\ge 0}}_{:= t(x)} dx = \int_{a}^{b} t(x) dx[/mm]
>  
>
> Hier weiß ich nicht wirklich, ob [mm]f(x)^{2}[/mm] und [mm]w(x) \cdot f(x)^{2}[/mm]
> wieder einfach stetig differenzierbar sind. Wie kann man
> das begründen?



Gar nicht.  Ich frage mich, warum du von  "stetig  differenzierbar" redest.

Die  beteiligten Funktionen sind  stetig,  mehr  nicht.



>  
> lg, Steve
>  
>  


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