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Forum "Uni-Numerik" - Trigonometrische Interpolation
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Trigonometrische Interpolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 Di 03.12.2019
Autor: NathanR

Hallo, ich habe das Thema "trigonometrische Interpolation" noch nicht wirklich verdaut und ich habe zu diesem Thema noch viele Fragen. Mich interessiert das auch, aber ich habe irgendwie keinen Zugang.

Daher wäre es super lieb, wenn mir jemand meine Fragen dazu beantworten könnte.

Ich tippe Abschnitte aus meinem Skript ab, zu dem ich Fragen habe.




1. Abschnitt (Einführung)

__________________________________________

In vielen Anwendungsbereichen treten “periodische” Funktionen, d. h. Funktionen mit
der Eigenschaft  $f(x + [mm] \omega) [/mm] = f(x), x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] auf, mit der sog. "Periode" [mm] $\omega [/mm] > 0$.

Hier bietet sich die Interpolation mit "trigonometrischen Summen" an:


[mm] $t_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} a_{0} [/mm] + [mm] \sum\limits_{k = 1}^{m} \left \{ a_{k} cos \left ( \frac{kx 2 \pi}{\omega} \right ) + b_{k} sin \left ( \frac{kx 2 \pi}{\omega} \right )\right \}$, [/mm] n := 2m$, welche


ebenfalls [mm] $\omega$ [/mm] - periodisch sind. O.B.d.A. können wir im folgenden [mm] $\omega [/mm] = 2 [mm] \pi$ [/mm] annehmen. Das Interpolationsintervall ist dann $[0, 2 [mm] \pi]$, [/mm] und die Stützstellen werden äquidistant gewählt zu


[mm] $x_{k} [/mm] = k [mm] \cdot \frac{2 \pi}{n + 1}$, [/mm] $k = 0, [mm] \ldots, [/mm] n$.

Beim Arbeiten mit trigonometrischen Summen erweist sich die “komplexe” Schreibweise
als vorteilhaft.

__________________________________________







1. Frage
___


Was genau ist das Ziel der trigonometrischen Interpolation?


Wir haben ja folgendes gegeben:
__________


a) Gegeben ist eine periodische Funktion $f(x)$. Für diese gilt $f(x + [mm] \omega) [/mm] = f(x)$ mit $x [mm] \in \mathbb{R}$. [/mm] Dabei ist [mm] $\omega [/mm] > 0$ die Periode.

b) Gegeben seien zusätzlich noch die Punkte [mm] $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \ldots, (x_{n}, y_{n})$ [/mm]



1.1 Wir wollen diese Punkte interpolieren. Wieso stellt man hier für kein Lagrangepolynom oder Newtonpolynom auf? Warum will man diese Punkte durch eine trigonometrische Summe interpolieren?


1. 2 Und wieso genau kann man ohne Beschränkung der Allgemeinheit $ [mm] \omega [/mm] = 2 [mm] \pi$ [/mm] wählen?


1. 3 Außerdem frage ich mich auch, warum man die Stützstellen  äquidistant wählt. Was ist z.B., wenn ich mir irgendwelche Stützstellen aus dem Intervall $[0, 2 [mm] \pi [/mm] ]$ herausnehme, die nicht äquidistant sind? Ergeben sich dadurch Nachteile

1. 4 Und was hat das mit der komplexen Schreibweise auf sich ? Warum ist es sinnvoll, solche trigonometrischen Summen mit komplexen Zahlen darzustellen? Hat das einen tieferen Sinn?

1.5 Ich habe nicht verstanden, was die Summe [mm] $t_{n}(x)$ [/mm] anstellt. Interpoliert diese Summe irgend etwas? Weil sie fällt einfach vom Himmel.






Ich habe noch zwei Abschnitte, die ich nicht ganz verstanden habe. Aber die poste ich später, wenn ich nach der Beantwortung dieser Fragen immer noch nicht weiterkomme.

Außerdem möchte ich niemanden mit zu vielen Fragen überrumpeln.




Ich freue mich auf jede Antwort.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Trigonometrische Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Mi 04.12.2019
Autor: HJKweseleit

Periodische Funktionen lassen sich nur in einem kleinen Bereich durch Polynome interpolieren, weil diese nicht periodisch sind, deshalb fällt das Lagrange-Polynom (und auch andere Polynome) für eine Darstellung weg.

Periodische Funktionen lassen sich in eine (evtl. unendliche) Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen aufspalten, die die Periode T (Grundschwingung), 2T (1. Oberschwingung), 3T (2. Oberschwingung) usw. haben. Das Ganze nennt man [mm] \fbox{Fourier-Zerlegung}. [/mm] Auf diesem Prinzip beruht das gesamte mp3-Format für akustische Schwingungen: Anstatt für "jeden" Augenblick die sich ändernde Frequenz und Lautstärke eines Tones aufzuzeichnen, zerlegt man diesen in eine Summe von Grund- und Oberschwingungen und gibt nur noch die Grundfrequenz und die Koeffizienten für sin und cos als deren Lautstärke an. Damit kann man die Informationsdichte auf einer CD auf ca. 10 % senken.

Die Beschränkung auf das Intervall [mm] [0|2\pi] [/mm] hat damit zu tun, dass man in der Mathematik sin und cos im Bogenmaß beschreibt und beide die Periodenlänge [mm] 2\pi [/mm] haben. Durch Stauchen oder Strecken auf der x- (oder t-)Achse bekommt man sofort die tatsächliche Periodenlänge, kann aber vorher die Berechnung einfacher darstellen. Statt [mm] \frac{kx 2 \pi}{\omega} [/mm] muss man nur noch kx schreiben.

Äquidistante Abstände vereinfachen meistens (nicht immer) die mathematische Darstellung. Als anderes Beispiel sei hier genau die Fourier-Zerlegung genannt, in der beim sin und cos die Argumente 1x, 2x, 3x, 4x, ... erscheinen statt 0,7x 4,2x, 9,9x usw.. Gerade dadurch wird die Darstellung leichter berechenbar.

Polynome haben ja auch die x-Potenzen [mm] x^0,x^1, x^2,x^3,... [/mm] und nicht [mm] x^{\wurzel{2}}. [/mm]

Was es mit der komplexen Darstellung auf sich hat, lässt sich nicht mit ein paar Worten erklären, nur so viel:

sin(x) = [mm] \bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm]  und cos(x) = [mm] \bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2}. [/mm]


Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Interpolation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Mi 04.12.2019
Autor: NathanR

Okay, vielen Dank für deine Antwort. Sie hat mir geholfen. Ich denke, ich beschäftige mich erst einmal mit Fourrierreihen, bevor ich mir wieder die trigonometrische Interpolation anschaue. Vielleicht verstehe ich es danach besser!


mfg, Nathan

Bezug
        
Bezug
Trigonometrische Interpolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Mi 04.12.2019
Autor: chrisno

Ich kann noch die Antwort von HJK.. ein wenig ergänzen:
> ...
> Was genau ist das Ziel der trigonometrischen Interpolation?

Eine Schätzung der Werte, die zwischen den Punkten liegen, eine Analyse, welche Frequenzen in einem Signal enthalten sind (durch die unterschiedlichen Obertonspektren unterscheiden sich die Klangfarben der Musikinstrumente), eine Darstellung einer Funktion, für die gar keine mathematische Beschreibung vorliegt.

> ...
> 1. 3 Außerdem frage ich mich auch, warum man die
> Stützstellen  äquidistant wählt. Was ist z.B., wenn ich
> mir irgendwelche Stützstellen aus dem Intervall [mm][0, 2 \pi ][/mm]
> herausnehme, die nicht äquidistant sind? Ergeben sich
> dadurch Nachteile

Die Rechnungen werden aufwendiger.

>....  

> 1. 4 Und was hat das mit der komplexen Schreibweise auf
> sich ? Warum ist es sinnvoll, solche trigonometrischen
> Summen mit komplexen Zahlen darzustellen? Hat das einen
> tieferen Sinn?

Tieferen Sinn hat das nicht. Es ist teilweise viel bequemer, weil nicht immer auf die Sinus und Cosinus Terme aufgepasst werden muss.

> ...
> 1.5 Ich habe nicht verstanden, was die Summe [mm]t_{n}(x)[/mm]
> anstellt. Interpoliert diese Summe irgend etwas? Weil sie
> fällt einfach vom Himmel.

Das ist die Fouriereihe zu der Funktion. Damit kannst Du eine Funktion (die gewisse Voraussetzungen erfüllt) immer genauer aproximieren.
Diese Sinus und Cosinus Funktionen bilden ein Orthogonalsystem. Das hat den Vorteil, dass die Koeffizienten [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] einzeln und voneinander unabhängig bestimmt werden können. Wenn Du also die Funktion genauer approximieren willst, dann musst Du nur mehr Koeffizienten dazu nehmen, die bisher vorhandenen ändern sich nicht.

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