Aufgabenblatt 7.3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Gibt es eine nicht-abelsche Gruppe G, deren Torsionsmenge {g ∈ G|∃n ∈ N, [mm] g^n [/mm] = 1} keine Untergruppe ist? |
| Aufgabe 2 | | Kann es eine endliche abelsche Gruppe G geben, für die die Torsionsuntergruppe eine echte Untergruppe ist? |
| Aufgabe 3 | | Ist (Q, +) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe? |
| Aufgabe 4 | | Ist jede abelsche Torsionsgruppe endlich? |
| Aufgabe 5 | | Es sei [mm] S^1 [/mm] die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen vom Betrag 1. Gibt es einen nicht-trivialen Homomorphismus von [mm] A_{7} [/mm] nach [mm] S^1 [/mm] ? |
Diese Aufgaben sollen nur mit Ja oder Nein beantwortet werden (ohne Beispiele oder Begründungen). Könnte da eventuell jemand drüber schauen und mir sagen, ob ich die richtigen Antworten gegeben habe ? Danke.
zu 1) Nein
zu 2) Nein
zu 3) Ja
zu 4) Nein
zu 5) Ja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Fr 01.01.2021 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Ist (Q, +) eine endlich erzeugte abelsche Gruppe?
>
> zu 3) Ja
Darüber würde ich noch mal genau nachdenken, wie würdest du deine Antwort denn begründen wollen?
Mit dem Rest bin ich einverstanden.
Korrektur: Da war ich voreilig.
Falls in 5) mit [mm] A_{7} [/mm] die alternierende Gruppe auf 7 Elementen gemeint sein sollte, gibt es überhaupt keinen nicht-trivialen Homomorphismus, da sie einfach ist.
Und zu 1): Was ist mit der Gruppe, die von a und b erzeugt wird mit den Relationen [mm] a^2 [/mm] = [mm] b^2 [/mm] = 1?
Gruß Dieter
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort und für die Korrektur.
Stimmt, du hattest Recht. Das mach wenig Sinn. Q ist definitiv nicht endlich erzeugt.
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