DGL getrennten Veränderliche < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Di 02.02.2010 | | Autor: | tynia |
| Aufgabe | DGL mit getrennten Veränderlichen - Satz über die Lösung der DGL mit
getrennten Veränderlichen. Beweisen Sie den Satz z.B. mit Hilfe des Satzes über das totale Differential! Vergleichen Sie die Voraussetzungen des Satzes mit denen des Existenzsatzes von Picard. |
Hallo. ich hoffe mir kann einer von euch helfen bei dieser Aufgabe, ich habe da so ein paar Fragen zu. Danke schonmal. ich schreibe mal auf, was ich bisher dazu habe:
Satz über die Lösung der DGL y'=f(x)*g(y)
Sei f(x) auf einem Intervall [mm] I_{x} [/mm] stetig und g(y) auf einem Intervall [mm] I_{y} [/mm] stetig. Ferner ist g(y) dort immer ungleich 0.
Ist nun [mm] x_{0} [/mm] aus [mm] I_{x} [/mm] und [mm] y_{0} [/mm] aus dem Inneren von [mm] I_{y}, [/mm] so ist die Anfangswertaufgabe
[mm] \bruch{dy}{dx}=f(x)*g(y) [/mm] mit [mm] y(x_{0})=y_{0} [/mm] in einer hinreichend kleinen Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] eindeutig lösbar über die Gleichung
[mm] \integral_{y_{0}}^{y}{\bruch{dt}{g(t)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{x_{0}}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
So, den Beweis will ich hier jetzt nicht posten, den habe ich verstanden. ich würde nur gerne etwas zu dem Vergleich mit Picard wissen. Vielleicht weiß ja einer von euch was.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Setze $D= [mm] I_x \times I_y$ [/mm] und $F(x,y):= f(x)g(y)$
Ist g auf [mm] I_y [/mm] stetig differenzierbar, so ist g auf [mm] I_y [/mm] lokal Lipschitzstetig.
Dann genügt F auf D einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich y
FAZIT: ist g stetig differenzierbar, so sind die Vor. des Picardschen Satzes erfüllt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 02.02.2010 | | Autor: | tynia |
warum betrachtet man nicht f(x) ? muss da nicht auch stetig sein?
Und noch was;Muss man überhaupt mit lipschitz argumentieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Di 02.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> warum betrachtet man nicht f(x) ? muss da nicht auch stetig
> sein?
Doch. Der Satz von Picard-Lindelöf setzt voraus, dass die Funktion $h(x,y)=f(x)*g(y)$ stetig auf [mm] $D=I_x\times I_y$ [/mm] ist.
> Und noch was;Muss man überhaupt mit lipschitz
> argumentieren.
Sonst kannst du den Existenzsatz doch gar nicht anwenden. Die Voraussetzungen sind immer (a) Stetigkeit der rechten Seite der DGL, und (b) Lipschitzbedingung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
aber es gibt doch eine stärker aussage, als die lipschitzstetigkeit, und zwar, dass die funktion f(x,y) stetig ist auf I und dort eine stetige partielle ableitung nach y hat. kann man nicht damt argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mi 03.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> aber es gibt doch eine stärker aussage, als die
> lipschitzstetigkeit, und zwar, dass die funktion f(x,y)
> stetig ist auf I und dort eine stetige partielle ableitung
> nach y hat. kann man nicht damt argumentieren?
Die Existenz der stetigen partiellen Ableitung nach y impliziert die Lipschitzbedingung, richtig.
Aber so wie du den Satz über die Trennung der Variablen hingeschrieben hast (und wie ich ihn kenne), ist nur die Stetigkeit vorausgesetzt, nicht die Existenz der partiellen Ableitung nach y.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mi 03.02.2010 | | Autor: | tynia |
ja, bezüglich der DGL schon, aber wenn ich die Voraussetzungen der DGL mit getrennten Veränderlichen mit den Vorraussetzungen aus dem Existenzsatz von Picard vergleichen soll. Da ist doch der Unterschied, das beim Picard Satz die Funktion von 2 veränderlichen abhängt und zudem noch das mit der stetigkeit der partiellen ableitung nach y , oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Do 04.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie rainer schon sagte, Picard braucht lipschitzst, aus
stetigkeit der partiellen ableitung nach y folgt Lipschitz, das ist ne hinreichende, nicht notwendige Bed. (die aber meist schneller geht, als L anders suchen)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 04.02.2010 | | Autor: | tynia |
lipschitz stetig bedeutet doch, das es eine Konstante L gibt, so dass folgendes gilt : [mm] |fx_{1}-fx_{2}| \le L|x_{1}-x_{2}| [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] L [mm] \le [/mm] 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> lipschitz stetig bedeutet doch, das es eine Konstante L
> gibt, so dass folgendes gilt : [mm]|fx_{1}-fx_{2}| \le L|x_{1}-x_{2}|[/mm]
> mit 0 [mm]\le[/mm] L [mm]\le[/mm] 1.
Das stimmt so nicht. Bei Picard hast Du folgende Situation;
$y'= F(x,y)$
und F muß einer Lipschitzbed. bezügl. y genügen, das bedeutet: es ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit
$|F(x,y)-F(x,z)| [mm] \le [/mm] L|y-z|$ für alle (x,y),(x,z) [mm] \in [/mm] D
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Do 04.02.2010 | | Autor: | tynia |
warum muss jetzt L nur größer als 0 sein und nicht 0 [mm] \le [/mm] L [mm] \le [/mm] 1 ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> warum muss jetzt L nur größer als 0 sein und nicht 0 [mm]\le[/mm]
> L [mm]\le[/mm] 1 ???
Wer hat denn gesagt, das L [mm] \le1 [/mm] sein muß ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 04.02.2010 | | Autor: | tynia |
ich habe mich verlesen.sorry und danke
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