Grundlage der Mathematik < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 15:54 Di 16.06.2015 | | Autor: | Yusuf |
Hallo,
ich weiß leider nicht, in welchem Forum ich das am besten fragen könnte, ich frage einfach mal hier. Ich frage mich, kurz und knapp ausgedrückt, ob die Logik die Mathematik umfasst, oder andersrum.
Wenn ich mir die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre angucke, die ja als Grundlage für den Großteil der Mathematik gilt, dann sind die Axiome in Prädikatenlogik 1. Stufe verfasst. Wenn ich mir Prädikatenlogik 1. Stufe angucke, benutzt man dort aber auch schon Mengenbegriffe. Da ist für mich ein gewisser Ringschluss. Was ist denn jetzt die Grundlage von der gesamten Mathematik/Logik?
Ich bin ein wenig verwirrt und hoffe, dass mich hier jemand aufklären kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Mi 01.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Yusuf!
> Wenn ich mir die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre angucke, die
> ja als Grundlage für den Großteil der Mathematik gilt,
> dann sind die Axiome in Prädikatenlogik 1. Stufe verfasst.
> Wenn ich mir Prädikatenlogik 1. Stufe angucke, benutzt man
> dort aber auch schon Mengenbegriffe. Da ist für mich ein
> gewisser Ringschluss. Was ist denn jetzt die Grundlage von
> der gesamten Mathematik/Logik?
Genau dies habe ich mich auch schon gefragt, als ich eine Mengenlehre-Vorlesung hörte. Die Vorgehensweise kam auch mir zirkulär vor.
Ein Logik-Professor vertrat mal die Auffassung (ich hoffe, ich gebe sie korrekt wieder), Mathematik sei "nicht linear", es gebe eben keine klare Grundlage, sondern nur Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Logik.
Ich schlage hingegen folgenden prinzipiellen Aufbau vor:
1. Wir führen die Prädikatenlogik der ersten Stufe rein syntaktisch (ohne jeden Mengenbegriff) ein zusammen mit einem Kalkül ("Spielregeln"), wie Mathematik betrieben werden darf.
2. Dann formulieren wir die Axiome der Mengenlehre und arbeiten dann mit besagtem Kalkül.
Die entscheidende Idee "meines" Ansatzes: Man formuliert syntaktische "Spielregeln" der Prädikatenlogik der ersten Stufe ohne die semantische Einordnung, die einen Mengenbegriff erfordert.
Damit lässt sich ein Großteil der heutigen Mathematik formal erfassen.
Sobald jedoch der mathematische Untersuchungsgegenstand die Gesamtheit der natürlichen Zahlen aus der Grundschule sein soll, stößt dieser Aufbau der Mathematik über Prädikatenlogik erster Stufe und Mengenlehre schon an seine Grenzen: In der Mengenlehre ZFC gibt es nicht notwendigerweise eine Menge, die der Gesamtheit der natürlichen Zahlen aus der Grundschule genau entspricht. Die häufig irrtümlich mit den natürlichen Zahlen aus der Grundschule gleichgesetzte kleinste Limesordinalzahl [mm] $\omega$ [/mm] kann schon mehr Ordinalzahlen als nur die gewöhnlichen natürlichen Zahlen enthalten (wie man sich mithilfe eines Kompaktheitssatz-Argumentes überlegen kann).
Viele Grüße
Tobias
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