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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:31 Mi 06.02.2008 | | Autor: | hasso |
abend,
ich würd gern wissen wie man die erste 2 Ableitungen dieses bruchs machen kann.
um die aufgabe lösen zu können.
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruß hasso
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo, die Funktion setzt sich zusammne aus [mm] f(x)=\bruch{u(x)}{v(x)} [/mm] bilde die Ableitung des Zählers u'(x) und die Ableitung des Nenners v'(x), jetzt brauchst du die Quotientenregel
[mm] f'(x)=\bruch{ u'v-uv'}{v^{2}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 06.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo hier ist die Ableitung nun richtig ?
Das soll die erste sein.
[mm] \bruch{(3x^2-2,25)*(x^2-9)-(2x(x^3-2,25x+6,75)}{(x^2-9)^2}
[/mm]
muss man das unter dem bruch strich noch quadrieren ? das wär ja dann unten binomische Formel oder ?
Lg hasso
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Hallo hasso,
> Hallo hier ist die Ableitung nun richtig ?
>
> Das soll die erste sein.
>
> [mm]\bruch{(3x^2-2,25)*(x^2-9)-(2x(x^3-2,25x+6,75)}{(x^2-9)^2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> muss man das unter dem bruch strich noch quadrieren ? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das hast du doch schon gem. der Quotientenregel, oder was genau meinst du?
> das wär ja dann unten binomische Formel oder ?
>
>
>
> Lg hasso
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> [mm]\bruch{(3x^2-2,25)*(x^2-9)-(2x(x^3-2,25x+6,75)}{(x^2-9)^2}[/mm]
> >
> > >
> > > muss man das unter dem bruch strich noch quadrieren ?
> >
> >
> > Das hast du doch schon gem. der Quotientenregel, oder was
> > genau meinst du?
> >
> > > das wär ja dann unten binomische Formel oder ?
>
>
> ich dacht dass das quadrat was außerhalb der klammer
> befindet noch ausrechnen muss was in der Klammer drin ist
> sprich: [mm]x^4[/mm] +2x-9 +81
Ach so 
Besser nicht, denn wenn du nun die 2.Ableitung (auch nach der Quotientenregel) machst, kannst du mit Sicherheit kürzen.
>
>
> naja Wie geht denn dann die zweite Ableitung ? gibts dafür
> auch irgend ne regel?
Fasse zuerstmal den Zähler der ersten Ableitung weitestgehend zusammen... dann setze für die 2.Ableitung auch die Quotientenregel an, du wirst sehen, du kannst im Zähler dann [mm] $(x^2-9)$ [/mm] ausklammern und kürzen...
geh's mal an...
>
> gruß hasso
>
Jo
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 06.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo schachuzipus,
[mm]\bruch{(3x^2-2,25)*(x^2-9)-(2x(x^3-2,25x+6,75)}{(x^2-9)^2}[/mm]
> > ich dacht dass das quadrat was außerhalb der klammer
> > befindet noch ausrechnen muss was in der Klammer drin ist
> > sprich: [mm]x^4[/mm] +2x-9 +81
>
> Ach so
>
> Besser nicht, denn wenn du nun die 2.Ableitung (auch nach
> der Quotientenregel) machst, kannst du mit Sicherheit
> kürzen.
>
> >
> >
> > naja Wie geht denn dann die zweite Ableitung ? gibts dafür
> > auch irgend ne regel?
>
> Fasse zuerstmal den Zähler der ersten Ableitung
> weitestgehend zusammen... dann setze für die 2.Ableitung
> auch die Quotientenregel an, du wirst sehen, du kannst im
> Zähler dann [mm](x^2-9)[/mm] ausklammern und kürzen...
>
> geh's mal an...
hey irgendwie fällt mir das bissien schwer das auszuklammern ... gibts da irgendein trick wie man das so gut lernen kann wie man ausklammert ??
lg hasso
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Hallo nochmal,
fasse zuerst mal den Zähler in der ersten Ableitung zusammen
(du kannst dann nachher, um auf ganze Zahlen zu kommen, den gesamten Zähler mit 4 erweitern, musst aber noch [mm] \cdot{}\frac{1}{4} [/mm] vor den Bruch schreiben!)
Wenn du die 2. Ableitung dann ansetzt, bekommst du ja im Zähler v'u-vu'
In der Summe steht bei u und u' [mm] (x^2-9) [/mm] als Faktor, den kannst du ausklammern und gegen einmal [mm] $(x^2-9)$ [/mm] im Nenner kürzen.
Schreib' mal hin, wie weit du kommst, schreibe mal die zusammengefasste 1. Ableitung auf und den Ansatz für die 2.Ableitung
Falls es dann noch hakt, machen wir weiter, ok?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 06.02.2008 | | Autor: | hasso |
hii,
ich hab mal in ein Mathebuch geschaut wie das so funktioniert und ich hoffe das ist so richtig bitteee...
[mm] \bruch{4x^2-3x^2-27x^2-2x +4x^4+4,5x^2+6,75}{x^2-9}
[/mm]
lg hasso
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Mi 06.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey,, ich glaub das ist richtig ;
[mm] \bruch{x^4-25,25x^2 -13,5x -20,25}{x^2-9}
[/mm]
???
gruß hasso
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Hi,
das stimmt fast, es müsste herauskommen:
[mm] $f'(x)=\frac{x^4-\red{24,75}x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)\red{^2}}$
[/mm]
Dann, wenn du magst, erweitern, um mit ganzen Zahlern weiterrechnen zu können:
[mm] $=\frac{4(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)}{4(x^2-9)^2}=\frac{1}{4}\cdot{}\frac{4x^4-99x^2-54x+81}{(x^2-9)^2}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hi schachuzipus,
ich hab das ohen dem erweitern weiter gemacht.....!!
gut am besten ich rechne hiermit weiter.. nun versuch ich mal die 2 Abltung mit der Quotienten regel:
$ [mm] f'(x)=\frac{x^4-\red{24,75}x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)\red{^2}} [/mm] $
$ [mm] f''(x)=\bruch{-2x^5+8x^4+13,5^3-22,5^2-195,75x+81,5}{(x^2-9)^2}
[/mm]
so nun ist das so richtig ???
gruß hasso
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Hallo hasso,
nein, das passt leider nicht.
Der Exponent im Nenner erhöht sich von Ableitung zu Ableitung immer um 1
Wenn du mit dem obigen $f'(x)$ ansetzt und die Quotientenregel nimmst, ergibt das:
[mm] $f''(x)=\frac{(4x^3-49,5x-13,5)\cdot{}\red{(x^2-9)}^2-(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)\cdot{}2\red{(x^2-9)}\cdot{}2x}{(x^2-9)^4}$
[/mm]
Hier kannst du wieder im Zähler [mm] $(x^2-9)$ [/mm] ausklammern und kürzen:
[mm] $=\frac{(4x^3-49,5x-13,5)\cdot{}(x^2-9)-(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)\cdot{}4x}{(x^2-9)^3}=\frac{4x^5-36x^3-49,5x^3+445,5x-13,5x^2+121,5-4x^5+99x^3+54x^2-81x}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{13,5x^3+40,5x^2+364,5x+121,5}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
Ohne Gewähr auf Rechen- oder Tippfehler
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hierzu hät ich eine frage ... das ist ja die 1ableitung.. also damit wieder die quotientenregel
[mm] \bruch{f'(x)*g(x) -g'(x)*f(x)}{g(x)^2}
[/mm]
und dann ausklammern und dann zusammen fassen dann müste das Ergebnis raus kommen ? oder ?
$ [mm] f'(x)=\frac{x^4-\red{24,75}x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)\red{^2}} [/mm] $
danke dir schonmal !!
gruß hasso
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Hallo,
irgendwie verstehe ich deine Frage nicht ganz.
Wir waren ausgegangen von der Funktion [mm] $f(x)=\frac{x^3-2,25x+6,75}{x^2-9}$
[/mm]
Die ist von der Gestalt [mm] $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, [/mm] so dass wir die Quotientenregel [mm] $f'(x)=\frac{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v'(x)}{(v(x))^2}$ [/mm] anwenden konnten.
Das brachte uns nach einiger Rechnerei zur 1.Ableitung
[mm] $f'(x)=\frac{x^4-24,75x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)^2}$
[/mm]
Die ist nun wieder von der Gestalt [mm] $f'(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, [/mm] so dass wir für die 2. Ableitung wieder die Quotientenregel nehmen konnten mit [mm] $u(x):=x^4-24,75x^2-13,5x+20,25$ [/mm] und [mm] $v(x):=(x^2-9)^2$
[/mm]
Das brachte uns schließlich zur 2.Ableitung [mm] $f''(x)=\frac{13,5x^3+40,5x^2+364,5x+121,5}{(x^2-9)^3}$
[/mm]
Von daher ist deine Bezeichnung mit $f$ in der Quotientenregel etwas "unglücklich", weil die Ausgangsfunktion ja schon so heißt
Und den "Trick" mit dem Ausklammern und kürzen sollte man sich bei Ableitungen von gebrochenrationalen Funktionen immer merken, da erspart man sich viel Rechnerei.
Stell dir nur mal vor, wir hätten bei den Ableitungen die Zählere immer komplett ausmultipliziert.
Nää, lieber vorher schauen, wo man wie zusammenfassen kann...
PS: Ich hoffe, das beantwortet in etwa deine Frage ...
Ansonsten stelle sie nochmal genauer...
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey schachuzipus.. ich hab das mal ausführlich hingeschrieben wie ich das berechnet habe .. eigentlich komisch das die Ergebnisse so unterschiedlich bei der 2 Ableitung sind.. meins ist sowieso falsch weißt du denn was ich da falsch gemacht habe .. habs mal ausführlich hingeschrieben ..
$ [mm] f'(x)=\frac{x^4-24,75x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)^2} [/mm] $
[mm] f''(x)=\bruch{(4x^3-24,75x-13,5)*(x^-9)-(2x(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)}{(x^2-9)^3}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{3x^5-234,25x^3+13,5x^2+222,75x+80,5}{(x^2-9)^3}
[/mm]
dankee dir!!
gruß hasso
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Hallo,
deine Version
[mm] f''(x)=\bruch{(4x^3-24,75x-13,5)\cdot{}(x-9)-(2x(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)}{(x^2-9)^3}
[/mm]
richtige Version
[mm] f''(x)=\bruch{(4x^3-49,5x-13,5)\cdot{}(x^2-9)-(2x(x^4-24,75x^2-13,5x+20,25)*2)}{(x^2-9)^3}
[/mm]
1. Fehler: -49,5x erhälst du aus der Ableitung von [mm] -24,75x^2
[/mm]
2. Fehler: [mm] x^2 [/mm] wird einfach aus der Funktion im Nenner übernommen
3. Fehler: Faktor 2 entsteht aus der Ableitung von [mm] (x^{2}-9)^{2}, [/mm] der Exponent 2 der Klammer bleibt erhalten, [mm] (x^{2}-9) [/mm] wurde ja gekürzt, 2x entsteht aus der inneren Ableitung von [mm] (x^{2}-9), [/mm] also die Ableitung von [mm] x^{2}
[/mm]
jetzt löse die Klammern erneut auf
du bekommst dann
[mm] f''=\bruch{13,5x^{3}+40,5x^{2}+364,5x+121,5}{(x^{2}-9)^{3}}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
Hallo jetzt habe ich ja die ersten beiden ableitungen ...
nun muss ich die nullstellen maxima minima und wendepunkte berechnen ... um die Nullstellen zu berechnen muss man die erste ableitung gleich null setzen ..
$ [mm] f'(x)=\frac{x^4-24,75x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)^2} [/mm] $=0
bei einer normalen funktion ohne bruch kann ich das muss man den bruch auflösen damit man das gleich null setzen kann oder wie muss man da vorgehen ???
gruß hasso
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Hallo hasso!
Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, muss man die Funktionsvorschrift $f(x)_$ gleich Null setzen: $f(x) \ = \ 0$ !
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null ist:
[mm] $$\bruch{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} [/mm] \ = \ 0 \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ [mm] \text{Zähler} [/mm] \ = \ 0$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hasso
> Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, muss man die
> Funktionsvorschrift [mm]f(x)_[/mm] gleich Null setzen: [mm]f(x) \ = \ 0[/mm]
> !
>
>
> Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler Null
> ist:
>
> [mm]\bruch{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \ = \ 0 \ \ \ \ \gdw \ \ \ \ \text{Zähler} \ = \ 0[/mm]
in mein arbeitsbuch steht (Extrema) Minimum oder Maximum liegt vor wenn die erste Ableitung f'(x)an dieser stelle gleich null (notwendige Bedingung)
f''(x)<0 Maximum
f''(x)>0Minimum
ich würd gern erstmal das berechnen ... und die notwendige Bedingung zuerst machen . f'(x)=0
$ [mm] f'(x)=\frac{x^4-24,75x^2-13,5x+20,25}{(x^2-9)^2} [/mm] $
boa.. ich versteh voll nicht wie ich das machen soll
gruß hasso
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Do 07.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du musst lediglich die Nullstellen des Zählers von f'(x) bestimmen.
Das sind dann die Extrempunkte von f(x)!
Um zu bestimmen, ob es nun ein Maxi- bzw ein Minimum ist, musst du die x- Werte der Nullstellen von f'(x) nochmal in f''(x) einsetzen; wie du es in deinem Post angegeben hast.
Lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
> Hallo!
>
> Du musst lediglich die Nullstellen des Zählers von f'(x)
> bestimmen.
achso.. heisst das ich muss vom zähler eine polynomdivision machen bis es [mm] x^2 [/mm] ist und dann mit der p/q formel arbeiten um die Nullstellen zu ermitteln.
hoffe mal das ich das jetzt richtig verstanden habe ?
> Das sind dann die Extrempunkte von f(x)!
>
> Um zu bestimmen, ob es nun ein Maxi- bzw ein Minimum ist,
> musst du die x- Werte der Nullstellen von f'(x) nochmal in
> f''(x) einsetzen; wie du es in deinem Post angegeben hast.
gruß hasso
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Hallo hasso,
du musst ja erstmal eine Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] haben, um sie als Linearfaktor per Polynomdivision abzuspalten.
Du müsstest also 2 Nullstellen "raten" oder anderweitig ermitteln, um den Zähler auf den Grad 2 runterzuschrauben und die p/q-Formel nehmen zu können.
Das "dumme" ist nur, diese erste Ableitung hat nur "krumme" Nullstellen, die du wohl nur näherungsweise bestimmen kannst, zB mit dem Newtonverfahren.
Ich packe dir mal den Graphen der Funktion (blau) und den der Ableitungsfunktion (rot) in den Anhang.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ableitung hat die Nullstellen: [mm] $x_0\approx [/mm] -4,56, [mm] x_1\approx [/mm] -1,27, [mm] x_2\approx [/mm] 0,68, [mm] x_3\approx [/mm] 5,16$
Also alles in allem keine besonders schöne Funktion für eine Kurvendiskussion...
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 07.02.2008 | | Autor: | hasso |
hey.. ja du hast voll recht die krummen zahlen sind echt zum kotzen...komisch das man sowas als übungsklausur stellt.
na dann ich hab auf jeden fall x0 auch -4,56 raus hab mit 2 begonnen und kam nach langen wege endlich bei der -4,56 an.
jetzt könnt ich theortischer weise polynomdivision machen .
[mm] x^4-24,75x^2-13,5x+20,25 [/mm] / (x-4,56)= [mm] x^3-4,56x^2-3,75x+3,5
[/mm]
das ist ja ziemlich viel soviel in einer klausur zu schaffen jetzt müsst ich ja nochmal die polynomdivison durchführen mit x-4,56 und dann p/qformel ... ich glaub nicht das sowas in der klasur vorkommt weil 4 tehmenbereiche abgefragt werden.. vielleicht mit einer einfachen funktion..
ich versuchs mal mit einer einfachen funktion hättest du eine mit der ich sicherlich ein grades ergebnis bekomme?
gruß hasso
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 07.02.2008 | | Autor: | Sabah |
f(x) = [mm] x^{5} [/mm] + [mm] 3x^{4} [/mm] - [mm] 5x^{2} [/mm] - [mm] 15x^{2} [/mm] + 4x + 12
oder
[mm] g(x)=\bruch{x^{5} + 3x^{4} - 5x^{2} - 15x^{2} + 4x + 12}{x+3}
[/mm]
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