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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anwenden der Substitution
Anwenden der Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anwenden der Substitution: Rückfrage, Idee, Hilfe, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:03 Mo 18.06.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Substitution die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen

y'(x) = [mm] \bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} [/mm]

Hallo,

hier mein Vorgehen:

y'(x) = [mm] \bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} \gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y}{x}+\bruch{x}{y} [/mm]

Substituiere [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] dann folgt:

g(u) = u + [mm] \bruch{1}{u} [/mm]

u' = [mm] \bruch{g(u)-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{u+\bruch{1}{u}-u}{x} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ux} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ux} \Rightarrow \integral [/mm] u du = [mm] \integral \bruch{1}{x} [/mm] dx

Integrale gelöst ergibt:

[mm] \bruch{u^{2}}{2} [/mm] = ln(x)+C           [mm] |*2|\wurzel [/mm]
u(x) = [mm] \wurzel{2ln(x)+2C} [/mm]

"" An dieser Stelle sagt die Lösung aber u(x) = [mm] \wurzel{2ln(x)+C} [/mm] - warum wird mein C nich mit 2 multipliziert? ""

Rücksubstituieren liefert:

y(x) = u(x)*x = [mm] x\wurzel{2ln(x)+2C} [/mm]

        
Bezug
Anwenden der Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Mo 18.06.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Substitution die
> allgemeine Lösung der Differentialgleichungen

>

> y'(x) = [mm]\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)}[/mm]
> Hallo,

>

> hier mein Vorgehen:

>

> y'(x) = [mm]\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} \gdw \bruch{dy}{dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{y}{x}+\bruch{x}{y}[/mm]

>

> Substituiere [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm] dann folgt:

>

> g(u) = u + [mm]\bruch{1}{u}[/mm]

>

> u' = [mm]\bruch{g(u)-u}{x}[/mm] = [mm]\bruch{u+\bruch{1}{u}-u}{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{1}{u}}{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ux}[/mm]

>

> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{ux} \Rightarrow \integral[/mm] u du =
> [mm]\integral \bruch{1}{x}[/mm] dx

>

> Integrale gelöst ergibt:

>

> [mm]\bruch{u^{2}}{2}[/mm] = ln(x)+C [mm]|*2|\wurzel[/mm]
> u(x) = [mm]\wurzel{2ln(x)+2C}[/mm]

>

> "" An dieser Stelle sagt die Lösung aber u(x) =
> [mm]\wurzel{2ln(x)+C}[/mm] - warum wird mein C nich mit 2
> multipliziert? ""

Hm, das sind hier alles Dinge, die hatten wir schon desöfteren. :-)

1): Es ist

[mm] \int{ \frac{1}{x} dx}=ln|x|+C[/mm]

Das machst du hartnäckigst falsch!

2) (zu deiner Frage):

Es wurde bei der Anfertigung der Musterlösung zunächst mit einer anderen Konstante, etwa c gerechnet und dann

C=2c

gesetzt.

>

> Rücksubstituieren liefert:

>

> y(x) = u(x)*x = [mm]x\wurzel{2ln(x)+2C}[/mm]

Bis auf die falschen Klammern bei der Logarithmusfunktion stimmt das.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Anwenden der Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:17 Di 19.06.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank für die Hilfe!

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