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| Aufgabe | Die Multiplikation mit [mm] \wurzel{j} [/mm] kann eine Drehung
- um 90° bewirken
- um -90° bewirken
- um 45° bewirken
??? |
Konnte zu dieser Single-Choise-Frage nichts im Internet finden. Sobald es um komplexe Zahlen geht, schaltet sich mein Gehirn ab :)
Wäre über eine Antwort mit Erklärung warum das so ist und wie man darauf kommt, sehr erfreut.
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
kadirko
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Hallo,
> Die Multiplikation mit [mm]\wurzel{j}[/mm] kann eine Drehung
>
> - um 90° bewirken
> - um -90° bewirken
> - um 45° bewirken
>
> ???
> Konnte zu dieser Single-Choise-Frage nichts im Internet
> finden. Sobald es um komplexe Zahlen geht, schaltet sich
> mein Gehirn ab :)
-> Buch macht kluch. 
> Wäre über eine Antwort mit Erklärung warum das so ist
> und wie man darauf kommt, sehr erfreut.
Die dritte Antwort ist die richtige. Und es ist gar nicht so ganz trivial, weshalb dies so ist.
Wenn man zwei komplexe Zahlen multipliziert, dann passiert in der Gaußschen Ebene folgendes:
- der Betrag des Produkts ist das Produkt der Beträge
- das Argument des Produkts ist die Summe der Beträge
Wenn du das mal für gegeben hinnimmst (ich würde mir das aber mal am Wochenende ganz gründlich klar machen), dann dürfte sofort klar sein, dass eine Multiplikation mit j eine Drehung in der Gaußschen Ebene um [mm] \pi/2 [/mm] bzw. 90° im Gegenuhrzeigersinn bewirkt. Wegen
[mm] \wurzel{j}*\wurzel{j}=j, abs\left(\wurzel{j}\right)=1
[/mm]
folgt dann die Antwort 3.
Gruß, Diophant
PS: Wenn du Zugang zu einer gut sortierten Leihbibliothek hast, dann schaue doch mal nach dem Werk
T. Needham, Anschauliche Funktionentheorie
Dort sind obige Zusammenhänge unter dem Oberbegriff Multiplikationsregel sehr anschaulich (nomen est omen  und ausführlich erklärt.
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Hi!
> Die Multiplikation mit [mm]\wurzel{j}[/mm] kann eine Drehung
>
> - um 90° bewirken
> - um -90° bewirken
> - um 45° bewirken
>
> ???
> Konnte zu dieser Single-Choise-Frage nichts im Internet
> finden. Sobald es um komplexe Zahlen geht, schaltet sich
> mein Gehirn ab :)
>
> Wäre über eine Antwort mit Erklärung warum das so ist
> und wie man darauf kommt, sehr erfreut.
>
> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Grüße
>
> kadirko
Nur als zweite Möglichkeit sich das besser vorzustellen:
Verwende doch einfach die Eulerform für deine Betrachtung.
Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt:
[mm]z=r_1\cdot e^{j\varphi_1}\cdot r_2 \cdot e^{j\varphi_2}=r_1 \cdot r_2 \cdot e^{j \cdot (\varphi_1+\varphi_2)}[/mm] Dies folgt einfach aus den Potenzregeln
Siehe dazu auch Diophants Antwort:
- der Betrag des Produkts ist das Produkt der Beträge
- das Argument des Produkts ist die Summe der Beträge
Machen wir das jetzt mit deiner Aufgabe, so folgt doch zunächst:
-Umwandlung in Eulerform
[mm]\sqrt{j}=\sqrt{e^{j\frac{\pi}{2}}}=(e^{j\frac{\pi}{2})}^{\frac{1}{2}}=e^{j\frac{\pi}{4}}[/mm]
Wenn du das nun auf irgendeine Komplexe Zahl: [mm]z=e^{j\varphi}[/mm] Multiplizierst, so folgt:
[mm]z=e^{j(\varphi+\frac{\pi}{4})}[/mm] Also eine Drehung um 45 Grad.
Ebenso einfach ist mit dieser darstellung einzusehen, dass eine Multiplikation mit $j$ eine Drehung um 90 Grad in der Gausschen Zahlenebene verursacht:
Komplexe Zahl: [mm]z=e^{j \varphi}[/mm]
[mm] $j=e^{j\frac{\pi}{2}}$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $z=e^{j(\varphi+\frac{\pi}{2})}$ [/mm] Also eine Drehung um 90 Grad.
Gruß Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
>
> > Die Multiplikation mit [mm]\wurzel{j}[/mm] kann eine Drehung
> >
> > - um 90° bewirken
> > - um -90° bewirken
> > - um 45° bewirken
> >
> > ???
> > Konnte zu dieser Single-Choise-Frage nichts im Internet
> > finden. Sobald es um komplexe Zahlen geht, schaltet sich
> > mein Gehirn ab :)
> >
> > Wäre über eine Antwort mit Erklärung warum das so ist
> > und wie man darauf kommt, sehr erfreut.
> >
> > Danke!
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> > Grüße
> >
> > kadirko
>
> Nur als zweite Möglichkeit sich das besser vorzustellen:
>
> Verwende doch einfach die Eulerform für deine Betrachtung.
>
> Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt:
>
> [mm]z=r_1\cdot e^{j\varphi_1}\cdot r_2 \cdot e^{j\varphi_2}=r_1 \cdot r_2 \cdot e^{j \cdot (\varphi_1+\varphi_2)}[/mm]
> Dies folgt einfach aus den Potenzregeln
>
> Siehe dazu auch Diophants Antwort:
>
> - der Betrag des Produkts ist das Produkt der Beträge
> - das Argument des Produkts ist die Summe der Beträge
>
>
> Machen wir das jetzt mit deiner Aufgabe, so folgt doch
> zunächst:
>
> -Umwandlung in Eulerform
>
> [mm]\sqrt{j}=\sqrt{e^{j\frac{\pi}{2}}}=(e^{j\frac{\pi}{2})}^{\frac{1}{2}}=e^{j\frac{\pi}{4}}[/mm]
>
Wenn schon, denn schon:
[mm] \sqrt{j}= \pm e^{j\frac{\pi}{4}}
[/mm]
FRED
> Wenn du das nun auf irgendeine Komplexe Zahl:
> [mm]z=e^{j\varphi}[/mm] Multiplizierst, so folgt:
>
> [mm]z=e^{j(\varphi+\frac{\pi}{4})}[/mm] Also eine Drehung um 45
> Grad.
>
> Ebenso einfach ist mit dieser darstellung einzusehen, dass
> eine Multiplikation mit [mm]j[/mm] eine Drehung um 90 Grad in der
> Gausschen Zahlenebene verursacht:
>
> Komplexe Zahl: [mm]z=e^{j \varphi}[/mm]
>
> [mm]j=e^{j\frac{\pi}{2}}[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]z=e^{j(\varphi+\frac{\pi}{2})}[/mm] Also eine
> Drehung um 90 Grad.
>
>
> Gruß Valerie
>
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Was hier stand war Unfug.
Danke für den Hinweis Fred.
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Hallo Valerie,
> Warum denn das?
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> Wurzel aus j besitzt doch eine eindeutige Darstellung:
>
> [mm]\sqrt{j}=\sqrt{e^{j\frac{\pi}{2}}}=(e^{j\frac{\pi}{2})}^{\frac{1}{2}}=e^{j\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm]
>
> Ich habe hier doch nirgends quadriert...
nein, FRED hat schon Recht: im Komplexen sind so einige Funktionen nicht mehr eindeutig, wie man das aus dem Reellen kennt.
Die Wurzelfunktion ist ja im Komplexen sinngemäß so definiert:
[mm] \wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{|z|}*e^{i\bruch{arg(z)+2k\pi}{n}}
[/mm]
wobei man denjenigen Wert, den man für k=0 bekommt, und den du meinst, den Hautpwert oder auch Hauptzweig der Wurzelfunktion nennt.
Es wäre also im Fall [mm] \wurzel{j} [/mm] noch ein weiteres Argument möglich, welches in der Auflistung nicht vorkommt, nämlich [mm] \phi=\bruch{5}{4}\pi [/mm] bzw. 225°. Das ist ja auch an diesen Multiple- oder Single-Choice-Aufgaben oder wie die Dinger heißen, das bescheuerte: die Fragen gehen dem abgeprüften Stoff niemals wirklich auf den Grund.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Diophant,
> Die Wurzelfunktion ist ja im Komplexen sinngemäß so
> definiert:
>
> [mm]\wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{|z|}*e^{i\bruch{arg(z)+2k\pi}{n}}[/mm]
>> nein, FRED hat schon Recht: im Komplexen sind so einige
> Funktionen nicht mehr eindeutig, wie man das aus dem
> Reellen kennt.
>
Ja, völlig richtig. Da stande ich wohl kurz auf dem Schlauch. ![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]")
gruß
Valerie
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